2010-上海卷理-02 填-复数

本题导读

本题考查共轭复数的概念及复数代数形式的加法与乘法运算。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 若复数 $z=1-2\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $z\cdot \bar{z}+z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出 $z=1-2\mathrm{i}$ 的共轭复数 $\bar{z}=1+2\mathrm{i}$。
2. 计算 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=1^2+(-2{)}^2=5$。
3. 计算 $z\cdot \bar{z}+z$。

✅【答案】

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$6-2\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

已知复数 $z=1-2\mathrm{i}$，则其共轭复数为 $\bar{z}=1+2\mathrm{i}$。

计算 $z\cdot \bar{z}$： $z\cdot \bar{z}=(1-2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})=1^2-(2\mathrm{i}{)}^2=1+4=5$

代入所求式： $z\cdot \bar{z}+z=5+(1-2\mathrm{i})=6-2\mathrm{i}$

故答案为：$6-2\mathrm{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数及复数乘法 $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$。
2. 核心方法：直代法计算。
3. 避坑指南：注意虚数单位平方 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的符号运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础复数运算题。
2. 结论推广：若 $z=a+b\mathrm{i}$，则 $z\cdot \bar{z}+z=(a^2+b^2+a)+b\mathrm{i}$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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