2010-上海卷理-16 单-参数方程

本题导读

本题考查直线的参数方程与方向向量的概念，直接由参数 $t$ 的系数提取方向向量，并进行共线化简。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 直线 $l$ 的参数方程是 $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-t\end{array}(t\in \mathbb{R})$，则 $l$ 的方向向量 $\vec{d}$ 可以是()

A. $(1,2)$　　　　B. $(2,1)$　　　　C. $(-2,1)$　　　　D. $(1,-2)$

🔍【思路分析】

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1. 参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x_0+u\cdot t\\ y=y_0+v\cdot t\end{array}$ 中，$t$ 的系数构成的向量 $(u,v)$ 即为直线的一个方向向量。
2. 从已知参数方程中提取向量 $\mathbf{v}=(2,-1)$。
3. 寻找选项中与 $(2,-1)$ 平行（共线）的向量 $\vec{d}=k(2,-1)(k\ne 0)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

已知直线 $l$ 的参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-t\end{array}(t\in \mathbb{R})$

对应参数 $t$ 的系数，直线 $l$ 的一个方向向量为： $\mathbf{v}=(2,-1)$

直线的方向向量不唯一，任何与 $(2,-1)$ 共线的非零向量均为该直线的方向向量。

检查各选项：

• A项：$(1,2)$，非共线；
• B项：$(2,1)$，非共线；
• C项：$(-2,1)=-1\times (2,-1)$，与 $(2,-1)$ 共线且方向相反，是直线的方向向量；
• D项：$(1,-2)$，非共线。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$ 与方向向量 $\mathbf{d}=(a,b)$。
2. 核心方法：提取 $t$ 系数 $(2,-1)\to$ 寻找共线向量 $\lambda (2,-1)$（取 $\lambda =-1$ 得 $(-2,1)$）。
3. 避坑指南：方向向量可以取反方向（乘以负系数），注意仔细核对符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷参数方程与向量结合的基础概念题。
2. 结论推广：直线的方向向量与直线的斜率 $k$ 关系为 $\vec{d}=(1,k)$ 或 $(a,b)$ 且 $k=\frac{b}{a}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心