2010-上海卷理-20 解-等比数列

本题导读

本题考查数列 $a_n$ 与 $S_n$ 递推关系的转化、等比数列的证明，以及前 $n$ 项和 $S_n$ 通项公式的构造与数列最值求解。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 20. 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_n=n-5a_n-85,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(1) 证明：$\{a_n-1\}$ 是等比数列；

(2) 求数列 $\{S_n\}$ 的通项公式，并指出 $n$ 为何值时，$S_n$ 取得最小值，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：

• 当 $n=1$ 时，$S_1=a_1=1-5a_1-85⟹a_1=-14$；
• 当 $n\ge 2$ 时，利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 将 $S_n=n-5a_n-85$ 与 $S_{n-1}=n-1-5a_{n-1}-85$ 相减，导出 $a_n-1$ 与 $a_{n-1}-1$ 的等比关系，进而完成证明。

2. 第 (2) 问：

• 由 (1) 得到 $a_n-1$ 的通项，进而得出 $a_n$ 的通项，代入 $S_n=n-5a_n-85$ 写出 $S_n$ 的通项公式；
• 分析 $S_n$ 的项与项之差 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$，寻找正负交界点判别单调性，确定 $S_n$ 的最小值点。

✅【答案】

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(1) 证明见解析； (2) $S_n=n+75{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}-90$，当 $n=15$ 时 $S_n$ 取得最小值.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$\{a_n-1\}$ 是等比数列

已知 $S_n=n-5a_n-85(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.

当 $n=1$ 时： $S_1=a_1=1-5a_1-85⟹6a_1=-84⟹a_1=-14$ 此时： $a_1-1=-14-1=-15$

当 $n\ge 2$ 时： $S_n=n-5a_n-85\text{(1)}$ $S_{n-1}=(n-1)-5a_{n-1}-85\text{(2)}$

①式减去②式，由 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 可得： $a_n=1-5a_n+5a_{n-1}$ $6a_n=5a_{n-1}+1$

两边同时减去 $6$： $6a_n-6=5a_{n-1}-5⟹6(a_n-1)=5(a_{n-1}-1)$

即： $\frac{a_n-1}{a_{n-1}-1}=\frac{5}{6}(n\ge 2)$

因为 $a_1-1=-15\ne 0$， 所以数列 $\{a_n-1\}$ 是以 $-15$ 为首项，$\frac{5}{6}$ 为公比的等比数列.

---

(2) 求数列 $\{S_n\}$ 的通项公式及最小值

由 (1) 知 $\{a_n-1\}$ 是首项为 $-15$，公比为 $\frac{5}{6}$ 的等比数列，所以： $a_n-1=-15\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}⟹a_n=1-15\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}$

代入已知条件 $S_n=n-5a_n-85$： $S_n=n-5\left[1-15\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}\right]-85$ $S_n=n-5+75\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}-85$ $S_n=n+75\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}-90(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

求 $S_n$ 的最小值： 计算相邻两项之差 $S_{n+1}-S_n$： $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}=1-15\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^n$

令 $a_{n+1}=0⟹{\left(\frac{5}{6}\right)}^n=\frac{1}{15}$：

• 当 $n=1$ 时，$a_2=1-15\times \frac{5}{6}=1-\frac{25}{2}=-\frac{23}{2}<0$；
• 当 $n=2$ 时，$a_3=1-15\times \frac{25}{36}=1-\frac{125}{12}=-\frac{113}{12}<0$；
• 当 $n=3$ 时，$a_4=1-15\times \frac{125}{216}=1-\frac{625}{72}=-\frac{553}{72}<0$；
• 当 $n=4$ 时，$a_5=1-15\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^4=1-15\times \frac{625}{1296}=1-\frac{3125}{432}=-\frac{2693}{432}<0$；
• 当 $n=15$ $\dots$ 求解 $15\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^n<1$： 由于 ${\left(\frac{5}{6}\right)}^n<\frac{1}{15}$： 取对数：$n\ln \frac{5}{6}<\ln \frac{1}{15}⟹n>\frac{\ln 15}{\ln 1.2}=\frac{2.708}{0.1823}\approx 14.85$。 即： 当 $n\le 14$ 时，$a_{n+1}<0⟹S_{n+1}<S_n$； 当 $n\ge 15$ 时，$a_{n+1}>0⟹S_{n+1}>S_n$.

说明 $S_1>S_2>S_3>\cdots >S_{14}>S_{15}$，且 $S_{15}<S_{16}<S_{17}<\dots$

所以，当 $n=15$ 时，$S_n$ 取得最小值.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$a_n=S_n-S_{n-1}$ 递推变形，等比数列证明，$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 判断前 $n$ 项和单调性。
2. 核心方法：

• 证明等比：两边凑出 $a_n-1=q(a_{n-1}-1)$ 结构；
• 找最值：通过 $a_{n+1}$ 的符号决定 $S_n$ 的增减性，解 $a_{n+1}<0$ 确定转折点。

3. 避坑指南：第 (1) 问证明等比数列时必须检验首项 $a_1-1\ne 0$；第 (2) 问找最小值时注意 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷经典 $S_n$ 与 $a_n$ 混和递推关系数列压轴大题。
2. 结论推广：对 $S_n=p{a}_n+An+B$，当 $p\ne 1$ 时，可通过作差化为等比数列关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件