2010-北京卷文-07 单-八边形面积

本题导读

考查面积求法。$S=4\times \frac{1}{2}\sin \alpha +{\left(2\sin \frac{\alpha }{2}\right)}^2=2\sin \alpha -2\cos \alpha +2$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 $1$、顶角为 $\alpha$ 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为()

A. $2\sin \alpha -2\cos \alpha +2$　　　　　B. $\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha +3$　　　　　C. $3\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha +1$　　　　　D. $2\sin \alpha -\cos \alpha +1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每个等腰三角形面积 $\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin \alpha =\frac{1}{2}\sin \alpha$。
2. 底边长 $=2\sin \frac{\alpha }{2}$，正方形面积 $=4{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=2(1-\cos \alpha )$。
3. 总面积 $=4\times \frac{1}{2}\sin \alpha +2(1-\cos \alpha )=2\sin \alpha -2\cos \alpha +2$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

每个等腰三角形腰长为 $1$、顶角为 $\alpha$，其面积为 $S_1=\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin \alpha =\frac{1}{2}\sin \alpha .$ 其底边长为 $2\times 1\times \sin \frac{\alpha }{2}=2\sin \frac{\alpha }{2},$ 该底边即中间正方形的边长，故正方形面积为 $S_2={\left(2\sin \frac{\alpha }{2}\right)}^2=4{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=2(1-\cos \alpha ).$ 八边形的总面积为 $S=4S_1+S_2=2\sin \alpha +2(1-\cos \alpha )=2\sin \alpha -2\cos \alpha +2.$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合图形的面积与二倍角

核心方法：三角形面积 $\frac{1}{2}ab\sin C$ 与半角弦长公式配合

避坑指南：底边长用 $2\sin \frac{\alpha }{2}$ 表示后，平方必须升幂：$4{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=2(1-\cos \alpha )$，不升幂就凑不出选项形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：腰长 $1$ 顶角 $\alpha$ 的等腰三角形：面积 $\frac{1}{2}\sin \alpha$，底边 $2\sin \frac{\alpha }{2}$。

结论推广：半角与二倍角是形状换算的桥梁：${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$。

方法推广：选项含 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 与常数，提示统一化为单角 $\alpha$ 的三角函数。

🔗【关联脉络】

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• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2013-湖北卷文-17 填-格点多边形
• 2009-福建卷文-07 单-解三角形面积求角