2010-北京卷文-10 填-余弦定理求边

本题导读

考查余弦定理。$3=a^2+1+a$，$a^2+a-2=0$，$a=1$。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 在 $△ABC$ 中，若 $b=1$，$c=\sqrt{3}$，$\angle C=\frac{2\pi }{3}$，则 $a=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
2. $3=a^2+1-2a\times \left(-\frac{1}{2}\right)=a^2+a+1$。
3. $a^2+a-2=0$，$a=1$（舍负）。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理， $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,$ 代入 $b=1$，$c=\sqrt{3}$，$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$： $3=a^2+1-2a\times 1\times \left(-\frac{1}{2}\right)=a^2+a+1,$ 即 $a^2+a-2=0$，解得 $a=1$ 或 $a=-2$（舍去）。 故 $a=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理解三角形

核心方法：已知两边一对角（对角为边 $c$ 的对角），用 $c^2$ 式列方程

避坑指南：$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$，符号一错方程就错；解出 $a=-2$ 必须舍去（边长为正）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦定理适用：已知三边、或已知两边及其夹角。

结论推广：本题也可先用正弦定理求 $\sin B=\frac{b\sin C}{c}=\frac{1}{2}$，$B=\frac{\pi }{6}$，$A=\frac{\pi }{6}$，$a=b=1$，两法互验。

方法推广：二次方程解三角形要检验解的几何合法性（正数、三角形不等式）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2012-陕西卷文-13 填-余弦定理解三角形