2012-陕西卷文-13 填-余弦定理解三角形

本题导读

本题考查余弦定理。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边长分别为 $a$，$b$，$c$，若 $a=2$，$B=\frac{\pi }{6}$，$c=2\sqrt{3}$，则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$b^2=4+12-2\times 2\times 2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=4$，故 $b=2$。

✅【答案】

点击查看答案

$2$

✍【详细解析】

Abstract

角 $B$ 的两条邻边是 $a$ 与 $c$，由余弦定理：

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=2^2+(2\sqrt{3}{)}^2-2\times 2\times 2\sqrt{3}\times \cos \frac{\pi }{6}$

$=4+12-2\times 2\times 2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=16-12=4$。

故 $b=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理（已知两边及夹角求第三边）

核心方法：认准”夹角 $B$ 的两邻边是 $a$、$c$“，直接代入余弦定理

避坑指南：余弦定理中夹角的两邻边才相乘：求 $b$ 用 $a$、$c$ 与 $\cos B$；误用 $\cos A$ 或把 $\cos \frac{\pi }{6}$ 记成 $\frac{1}{2}$ 都会算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦定理解三角形填空题，与 2012 年重庆卷文第 13 题、2013 年上海卷文第 5 题同族。

结论推广：$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$；特殊角 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入含 $2\sqrt{3}$ 的边时乘积会出现 $3$ 的整数倍，宜先约分再相加。

方法推广：解三角形填空先画草图、标出已知量与所求量，再选定理：已知两边夹角用余弦，已知两角一边用正弦。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-13 填-余弦定理与正弦定理
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角
• 2013-福建卷理-13 填-余弦定理