2010-北京卷理-04 单-排列组合

本题导读

本题主要考查排列组合中的位置受限排列问题。对于特殊元素“不相邻”的计数要求，利用“插空法”是标准且最高效的解决策略。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为()

A. $A_8^8{A}_9^2$　　　B. $A_8^8{C}_9^2$　　　C. $A_8^8{A}_7^2$　　　D. $A_8^8{C}_7^2$

🔍【思路分析】

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1. 针对特殊元素（2位老师）要求互不相邻，应采用“插空法”处理。

2. 第一步：先对没有限制要求的 8 名学生进行全排列。

3. 第二步： 8 名学生站定后，在学生之间及两端会产生若干个空档，清点空档总数。

4. 第三步：从这些空档中随机选出 2 个安插 2 位老师，并进行排列，两步结果相乘即得总数。

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A

✍【详细解析】

Abstract

本题采用“插空法”求解：

1. 先对 8 名学生进行排队，共有 $A_8^8$ 种排法；

2. 8 名学生排好后，他们之间及两端共产生 $8+1=9$ 个空档；

3. 因为 2 位老师要求不相邻，所以只需从这 9 个空档中任选 2 个安排这 2 位老师站位即可，由于老师有身份差异，调换顺序结果不同，故有 $A_9^2$ 种插空方法． 根据分步乘法计数原理，总的排法种数为 $A_8^8{A}_9^2$． 正确答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

4. 核心考点：排列组合中“相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法”的常规应用。

5. 核心方法：插空计数。 $n$ 个元素排成一列，内部加两端共形成 $n+1$ 个空隙。

6. 避坑指南：切忌错数空档个数。容易误以为 8 个人只有 7 个空（忽略了两端），从而误选 C。另外需要分清排列（$A$）与组合（$C$）的区别，老师是不同的个体，必须用排列。

📖【试题探源与推广】

Tip

7. 试题探源: 本题是人教A版选修2-3第一章“排列与组合”中关于受限排列问题的经典例题改编。

8. 结论推广: 若有 $m$ 个普通元素和 $n$ 个互不相邻的特殊元素（满足 $m+1⩾n$）排成一排，则其通用的不相邻排法种数公式为 $A_m^m\cdot A_{m+1}^n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用