2010-北京卷理-06 单-向量

本题导读

本题将平面向量垂直的充要条件与一次函数的概念交叉结合，考查充分必要条件的逻辑判定。核心在于正确展开向量数量积，并准确把握一次函数最高次项系数不为零的定义。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为非零向量．“$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$”是“函数 $f(x)=(x\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (x\mathbf{b}-\mathbf{a})$ 为一次函数”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 多项式展开：利用向量数量积的运算律将 $f(x)$ 展开，并按照自变量 $x$ 的降幂进行排列。

2. 提取函数特征条件：根据一次函数的定义，二次项系数必须为 0，且一次项系数不能为 0，从而构建关于向量的方程组。

3. 双向逻辑判定：对比“$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$”与所得条件，分别论证充分性和必要性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

对函数 $f(x)$ 进行向量数量积展开： $f(x)=(x\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (x\mathbf{b}-\mathbf{a})=x^2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})-x{\mathbf{a}}^2+x{\mathbf{b}}^2-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 利用 ${\mathbf{a}}^2=|\mathbf{a}{|}^2,{\mathbf{b}}^2=|\mathbf{b}{|}^2$，合并同类项整理得： $f(x)=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})x^2+(|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}{|}^2)x-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 根据一次函数的定义，函数 $f(x)$ 为一次函数的充要条件是： $\{\begin{array}{l}\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0\\ |\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}{|}^2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}\mathbf{a}\perp \mathbf{b}\\ |\mathbf{a}|\ne |\mathbf{b}|\end{array}$

由上述结果进行逻辑关系判定：

1. 充分性：若 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，无法保证 $|\mathbf{a}|\ne |\mathbf{b}|$。若恰好有 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$，则一次项系数也为 0，此时 $f(x)$ 退化为常数函数，不是一次函数。故充分性不成立。
2. 必要性：若 $f(x)$ 为一次函数，则必然满足 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$（且 $|\mathbf{a}|\ne |\mathbf{b}|$），显然可以推出 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$。故必要性成立。

因此，“$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$”是“函数 $f(x)$ 为一次函数”的必要而不充分条件。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积运算、一次函数定义、充要条件判定。

2. 核心方法：公式展开法、反例说明法。

3. 避坑指南：极易忽视一次函数隐含的“一次项系数不为 0”这一严格要求。很多考生误以为只要二次项系数为 0（即 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0⟹\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$）即可，从而错选为 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由初等函数的定义与向量代数运算交叉改编而成，意在全面考查基础数学概念的严谨性，打破学生仅依靠直觉做题的思维定势。

2. 结论推广: 若 $f(x)=(x\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (x\mathbf{c}+\mathbf{d})$ 为二次函数，其充要条件为 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}\ne 0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积