2010-四川卷理-09 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆准线、垂直平分线性质与离心率的范围问题，通过将“点在椭圆上”转化为代数坐标范围约束离心率。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$，其右准线与 $x$ 轴的交点为 $A$，在椭圆上存在点 $P$ 满足线段 $AP$ 的垂直平分线过点 $F$，则椭圆离心率的取值范围是()

A. $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$　　　B. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$　　　C. $[\sqrt{2}-1,1)$　　　D. $\left[\frac{1}{2},1\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出点 $F$ 和点 $A$ 的坐标：右焦点 $F(c,0)$，右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}$，故右准线与 $x$ 轴交点为 $A\left(\frac{a^2}{c},0\right)$。
2. 利用垂直平分线性质：线段 $AP$ 的垂直平分线过 $F⟺|PF|=|AF|$。
3. 计算 $|AF|$：$|AF|=\frac{a^2}{c}-c=\frac{a^2-c^2}{c}=\frac{b^2}{c}$。
4. 借助焦半径范围：设 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆上一点，焦半径公式为 $|PF|=a-e{x}_0$。因为 $-a\le x_0\le a$，所以焦半径取值范围为： $a-ea\le |PF|\le a+ea⟹a(1-e)\le |PF|\le a(1+e)$
5. 列不等式求解离心率 $e$：由 $|PF|=|AF|=\frac{b^2}{c}=\frac{a(1-e^2)}{e}$，限制在其范围区间内列出不等式求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $|AF|$ 的长度 椭圆右焦点 $F(c,0)$，右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}$，与 $x$ 轴的交点为 $A\left(\frac{a^2}{c},0\right)$。

所以： $|AF|=\frac{a^2}{c}-c=\frac{a^2-c^2}{c}=\frac{b^2}{c}$

第二步：转换垂直平分线性质 因为线段 $AP$ 的垂直平分线过点 $F$，根据垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等： $|PF|=|AF|=\frac{b^2}{c}$

第三步：利用椭圆焦半径范围列不等式 设 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆上的点，其中 $-a\le x_0\le a$。 根据椭圆焦半径公式，点 $P$ 到右焦点 $F$ 的距离为： $|PF|=a-e{x}_0$

因为 $-a\le x_0\le a$，所以： $a-ae\le |PF|\le a+ae⟹a(1-e)\le |PF|\le a(1+e)$

把 $|PF|=\frac{b^2}{c}=\frac{a^2-c^2}{c}=\frac{a(1-e^2)}{e}$ 代入不等式组：

1. 左侧不等式： $a(1-e)\le \frac{a(1-e^2)}{e}$ 两边同除以 $a(1-e)>0$： $1\le \frac{1+e}{e}⟹e\le 1+e\text{（恒成立）}$

2. 右侧不等式： $\frac{a(1-e^2)}{e}\le a(1+e)$ 两边同除以 $a(1+e)>0$： $\frac{1-e}{e}\le 1⟹1-e\le e⟹2e\ge 1⟹e\ge \frac{1}{2}$

又因为椭圆的离心率满足 $0<e<1$，所以 $e$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2},1\right)$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆准线坐标、垂直平分线几何性质、焦半径范围 $a(1-e)\le |PF|\le a(1+e)$。
2. 核心方法：几何距离转化为焦半径 $\to$ 代入范围 $x_0\in [-a,a]$ 列不等式求解。
3. 避坑指南：化简 $\frac{a(1-e^2)}{e}$ 时用公因式 $1-e^2=(1-e)(1+e)$ 约分简化计算，切勿展开展开为高次多项式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线焦半径与离心率取值范围经典考题。
2. 结论推广：在椭圆中，极小焦半径为 $a(1-e)$（长轴右端点），极大焦半径为 $a(1+e)$（长轴左端点）。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-22 解-椭圆最值与参数范围
• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2011-北京卷理-19 解-椭圆