2010-四川卷理-10 单-排列组合

本题导读

本题考查无重复数字偶数的计数问题，且包含多个不相邻限制（$1,3$ 都不与 $5$ 相邻），利用分类讨论或排除法求解。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 由 $1,2,3,4,5,6$ 组成没有重复数字且 $1,3$ 都不与 $5$ 相邻的六位偶数的个数是()

A. $72$　　　　　　B. $96$　　　　　　C. $108$　　　　　　D. $144$

🔍【思路分析】

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1. 确定末位（偶数限制）：六位偶数的末位只能从偶数 $\{2,4,6\}$ 中选 $1$ 个，有 ${\mathrm{C}}_3^1=3$ 种选法。
2. 分析剩余 $5$ 个数字：包含奇数 $\{1,3,5\}$ 与剩余 $2$ 个偶数。
3. 处理“$1,3$ 都不与 $5$ 相邻”条件：

• 考虑反向或插空：$5$ 的两侧不能是 $1$ 或 $3$（即 $5$ 的相邻位置只能是偶数或位于边界且邻数为偶数）。
• 按 $5$ 的位置分类讨论或用插空法排奇数 $5$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：优先确定末位 末位数字必须是偶数，从 $\{2,4,6\}$ 中选 $1$ 个，有 ${\mathrm{C}}_3^1=3$ 种选法。 选定末位后，剩下的 $5$ 个数字为：$1,3,5$ 和剩余的 $2$ 个偶数（记为 $E_1,E_2$）。

第二步：对 $5$ 的位置分类讨论（把剩下的前 $5$ 个位置记为第 $1,2,3,4,5$ 位）

为了使 $1,3$ 都不与 $5$ 相邻，$5$ 的紧邻位置必须放置偶数（$E_1$ 或 $E_2$）。

• 情况 1：$5$ 在端点位置（第 $1$ 位）

• 第 $1$ 位放 $5$（$1$ 种）；

• 第 $2$ 位必须放偶数（从剩余 $2$ 个偶数中选 $1$ 个，有 ${\mathrm{C}}_2^1=2$ 种）；

• 剩下的 $3$ 个位置（第 $3,4,5$ 位）由剩下的 $3$ 个数字（包含 $1,3$ 和第 $3$ 个偶数）全排列，有 ${\mathrm{A}}_3^3=6$ 种；

• 选法数：$1\times 2\times 6=12$ 种。

• 情况 2：$5$ 在第 $5$ 位（紧邻末位偶数）

• 第 $5$ 位放 $5$（$1$ 种）；

• 第 $4$ 位必须放偶数（从剩余 $2$ 个偶数中选 $1$ 个，有 ${\mathrm{C}}_2^1=2$ 种）；

• 剩下的 $3$ 个位置（第 $1,2,3$ 位）由剩下的 $3$ 个数字全排列，有 ${\mathrm{A}}_3^3=6$ 种；

• 选法数：$1\times 2\times 6=12$ 种。

• 情况 3：$5$ 在中间位置（第 $2,3,4$ 位之一）

• 第 $5$ 的两侧（如第 $2$ 位时是第 $1,3$ 位）必须都是偶数。

• 由于剩余偶数只有 $2$ 个（$E_1,E_2$），必须全部分配在 $5$ 的两侧，排列有 ${\mathrm{A}}_2^2=2$ 种；

• $5$ 可选的位置有 $3$ 个（第 $2,3,4$ 位），有 $3$ 种；

• 剩余的 $2$ 个位置由奇数 $1,3$ 全排列，有 ${\mathrm{A}}_2^2=2$ 种；

• 选法数：$3\times 2\times 2=12$ 种。

第三步：计算总数 前 $5$ 个位置满足条件的排列数为： $12+12+12=36\text{（种）}$

乘以末位偶数的 $3$ 种选法： $\text{总个数}=3\times 36=108\text{（个）}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列组合中的偶数限制与不相邻元素排列。
2. 核心方法：末位优先排偶数 $\to$ 按特殊元素 $5$ 的位置分类（端点/中间）讨论邻位元素。
3. 避坑指南：注意剩余偶数只有 $2$ 个，当 $5$ 在中间位置时，$5$ 的两侧必须把这两偶数全部占满。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：排列组合有限制条件的经典数字排列题。
2. 结论推广：当某元素 $X$ 与集合 $S$ 中所有元素都不相邻时，$X$ 的邻位必须全被非 $S$ 元素填充。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用