2010-四川卷理-18 解-二面角

本题导读

本题考查正方体中的公垂线证明、二面角计算以及三棱锥体积计算。通过建系运用向量代数运算可以高效解决立体几何问题。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 18. 已知正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 的棱长为 $1$，点 $M$ 是棱 $A{A}^{\prime }$ 的中点，点 $O$ 是对角线 $B{D}^{\prime }$ 的中点.

(1) 求证：$OM$ 为异面直线 $A{A}^{\prime }$ 和 $B{D}^{\prime }$ 的公垂线；

(2) 求二面角 $M-B{C}^{\prime }-B^{\prime }$ 的大小；

(3) 求三棱锥 $M-OBC$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：以 $D$ 为原点，$DA,DC,D{D}^{\prime }$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。写出各点坐标：$D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A^{\prime }(1,0,1),D^{\prime }(0,0,1),M\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$，对角线中点 $O\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。
2. 第 (1) 问：计算向量 $\overrightarrow{OM}$，证明 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=0$ 且 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{B{D}^{\prime }}=0$，即可证得 $OM$ 为异面直线 $A{A}^{\prime }$ 和 $B{D}^{\prime }$ 的公垂线。
3. 第 (2) 问：求出平面 $MB{C}^{\prime }$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1$ 与平面 $B{C}^{\prime }{B}^{\prime }$（即侧面 $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$）的法向量 ${\mathbf{n}}_2$，利用法向量夹角余弦值求出二面角。
4. 第 (3) 问：可利用等体积转化 $V_{M-OBC}=V_{O-MBC}$，或利用 $O$ 到底面 $△MBC$ 的距离直接求解体积。

✅【答案】

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𝑂𝑀为异面直线𝐴𝐴′和𝐵𝐷′的公垂线.（2）短答案：二面角𝑀−𝐵𝐶′−𝐵′的大小为arctan(2√2).（3）短答案：𝑉𝑀−𝑂𝐵𝐶=1

✍【详细解析】

Abstract

如图，以 $D$ 为坐标原点，以 $DA,DC,D{D}^{\prime }$ 所在的直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系 $D-xyz$。

已知正方体棱长为 $1$，各点坐标分别为：

• $D(0,0,0)$
• $A(1,0,0)$
• $B(1,1,0)$
• $C(0,1,0)$
• $A^{\prime }(1,0,1)$
• $B^{\prime }(1,1,1)$
• $C^{\prime }(0,1,1)$
• $D^{\prime }(0,0,1)$

因为 $M$ 是 $A{A}^{\prime }$ 的中点，所以 $M\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$； 因为 $O$ 是对角线 $B{D}^{\prime }$ 的中点，所以 $O\left(\frac{1+0}{2},\frac{1+0}{2},\frac{0+1}{2}\right)=O\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。

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(1) 证明：$OM$ 为异面直线 $A{A}^{\prime }$ 和 $B{D}^{\prime }$ 的公垂线

求各相关向量的坐标： $\overrightarrow{OM}=\left(1-\frac{1}{2},0-\frac{1}{2},\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0,0,1)$ $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(0-1,0-1,1-0)=(-1,-1,1)$

计算向量数量积： $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\times 0+\left(-\frac{1}{2}\right)\times 0+0\times 1=0⟹OM\perp A{A}^{\prime }$ $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}\times (-1)+\left(-\frac{1}{2}\right)\times (-1)+0\times 1=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=0⟹OM\perp B{D}^{\prime }$

因为直线 $OM$ 既垂直于 $A{A}^{\prime }$，又垂直于 $B{D}^{\prime }$，且 $OM$ 与两条异面直线都相交（$M\in A{A}^{\prime },O\in B{D}^{\prime }$）， 所以 $OM$ 为异面直线 $A{A}^{\prime }$ 和 $B{D}^{\prime }$ 的公垂线。

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(2) 求二面角 $M-B{C}^{\prime }-B^{\prime }$ 的大小

平面 $B{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ 即为正方体的右侧面 $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$，其一个法向量为： ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{DA}=(1,0,0)$

下面求平面 $MB{C}^{\prime }$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1=(x,y,z)$： 在平面 $MB{C}^{\prime }$ 中，已知： $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0-1,1-1,1-0)=(-1,0,1)$ $\overrightarrow{BM}=\left(1-1,0-1,\frac{1}{2}-0\right)=\left(0,-1,\frac{1}{2}\right)$

由 $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{B{C}^{\prime }}=0\\ {\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{BM}=0\end{array}$ 得： $\{\begin{array}{l}-x+z=0⟹z=x\\ -y+\frac{1}{2}z=0⟹y=\frac{1}{2}z\end{array}$

取 $x=2$，解得 $z=2,y=1$。 故平面 $MB{C}^{\prime }$ 的一个法向量为： ${\mathbf{n}}_1=(2,1,2)$

计算两法向量的夹角余弦值： $\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩=\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{2\times 1+1\times 0+2\times 0}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\frac{2}{\sqrt{9}\times 1}=\frac{2}{3}$

由图可知，二面角 $M-B{C}^{\prime }-B^{\prime }$ 的平面角为锐角， 所以二面角 $M-B{C}^{\prime }-B^{\prime }$ 的大小为 $\arccos \frac{2}{3}$。

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(3) 求三棱锥 $M-OBC$ 的体积

利用等体积转化法，三棱锥 $M-OBC$ 的体积等于三棱锥 $O-MBC$ 的体积： $V_{M-OBC}=V_{O-MBC}$

• 计算底面 $△MBC$ 的面积： 在 $\mathrm{Rt}△MAB$ 中，$AB=1,AM=\frac{1}{2}⟹MB=\sqrt{1^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。 因为 $BC\perp$ 平面 $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$，且 $MA\subset$ 平面 $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$， 所以 $BC\perp MB$，即 $△MBC$ 是以 $B$ 为直角顶点的直角三角形。 $S_{△MBC}=\frac{1}{2}\times BC\times MB=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}$

• 求点 $O$ 到平面 $MBC$ 的距离 $h$： 由第 (2) 问知平面 $MBC$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(2,1,2)$。 计算向量 $\overrightarrow{BO}$： $\overrightarrow{BO}=\left(\frac{1}{2}-1,\frac{1}{2}-1,\frac{1}{2}-0\right)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 点 $O$ 到平面 $MBC$ 的距离为： $h=\frac{|\overrightarrow{BO}\cdot {\mathbf{n}}_1|}{|{\mathbf{n}}_1|}=\frac{|\left(-\frac{1}{2}\right)\times 2+\left(-\frac{1}{2}\right)\times 1+\frac{1}{2}\times 2|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{|-1-\frac{1}{2}+1|}{3}=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}$

• 计算体积： $V_{M-OBC}=\frac{1}{3}\times S_{△MBC}\times h=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{5}}{4}\times \frac{1}{6}=\frac{\sqrt{5}}{72}$

(另法：直接利用 $V_{M-OBC}=V_{O-MBC}=\frac{1}{2}{V}_{D^{\prime }-MBC}=\frac{1}{3}\times S_{△OBC}\times h_M=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\cdots =\frac{\sqrt{5}}{72}$)

故三棱锥 $M-OBC$ 的体积为 $\frac{\sqrt{5}}{72}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：公垂线向量垂直判别、平面法向量求二面角、点到平面距离与三棱锥体积。
2. 核心方法：

• 公垂线判定：同时证明 $\overrightarrow{OM}\perp \overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ 和 $\overrightarrow{OM}\perp \overrightarrow{B{D}^{\prime }}$；
• 体积计算：高 $h=\frac{|\overrightarrow{BO}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$ 代入 $V=\frac{1}{3}Sh$。

3. 避坑指南：第 (2) 问中注意区分二面角为锐角还是钝角；第 (3) 问计算 $△MBC$ 面积时，须先证 $BC\perp MB$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：正方体经典立体几何综合大题（向量法应用）。
2. 结论推广：在棱长为 $a$ 的正方体中，对角线与侧棱中点的公垂线段长度恒为 $\frac{\sqrt{2}}{4}a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-安徽卷文-19 解-多面体平行与棱锥体积
• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角