2011-安徽卷文-19 解-多面体平行与棱锥体积

本题导读

本题考查面面垂直的坐标实现，以及空间向量的线性运算。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 如图，$ABEDFC$ 为多面体，平面 $ABED$ 与平面 $ACFD$ 垂直，点 $O$ 在线段 $AD$ 上，$OA=1$，$OD=2$，$△OAB$，$△OAC$，$△ODE$，$△ODF$ 都是正三角形.

(1)证明直线 $BC\parallel EF$；

(2)求棱锥 $F-OBED$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：以 $O$ 为原点、$AD$ 为 $x$ 轴、两垂直平面为 $xOy$ 与 $xOz$ 建系
2. 步骤2：写各点坐标
3. 步骤3：向量证平行
4. 步骤4：底面积乘高求体积

✅【答案】

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(1)$\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{BC}$，故 $BC\parallel EF$

(2)$V=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}=\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

取 $O$ 为原点，$AD$ 为 $x$ 轴，平面 $ABED$ 为 $xOy$ 平面，平面 $ACFD$ 为 $xOz$ 平面（两者垂直，坐标系合法）。

由 $OA=1$，$OD=2$：$A=(-1,0,0)$，$D=(2,0,0)$。

$△OAB$ 是边长 $1$ 的正三角形且在 $xOy$ 面内，取 $B=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$；同理 $E=(1,\sqrt{3},0)$。

$△OAC$ 是边长 $1$ 的正三角形且在 $xOz$ 面内，取 $C=\left(-\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$；同理 $F=(1,0,\sqrt{3})$。

（1） $\overrightarrow{BC}=C-B=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$\overrightarrow{EF}=F-E=(0,-\sqrt{3},\sqrt{3})=2\overrightarrow{BC}$。

故 $BC\parallel EF$。

（2） 在平面 $ABED$ 内，$\overrightarrow{DE}=E-D=(-1,\sqrt{3},0)=2\overrightarrow{OB}$，故四边形 $OBED$ 是以 $OB$，$DE$ 为两底的梯形，$|OB|=1$，$|DE|=2$。

两底所在平行线间的距离：$d=|OD|\sin \angle BOD=2\sin \frac{2\pi }{3}=\sqrt{3}$，故 $S_{OBED}=\frac{1+2}{2}\times \sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

点 $F$ 到平面 $ABED$（即 $xOy$ 面）的距离为其 $z$ 坐标的绝对值 $\sqrt{3}$。

故 $V=\frac{1}{3}{S}_{OBED}\cdot \sqrt{3}=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}=\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直 $\Rightarrow$ 建系的合法性；正三角形的坐标表示；共线向量证明线线平行；梯形面积与锥体体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$

核心方法：两个已知垂直的平面直接充当坐标面，正三角形顶点用”边长 $\times \sin 60^{\circ }$“写出；平行用向量共线（$\overrightarrow{EF}=\lambda \overrightarrow{BC}$），体积用”底面积 $\times$ 高”逐项落实

避坑指南：$B$，$C$ 的横坐标都是 $-\frac{1}{2}$（正三角形顶点在底边中点正上方 $/$ 正前方），不是 $-1$；梯形 $OBED$ 的两底是 $OB$ 与 $DE$（互相平行），高是平行线间距离 $\sqrt{3}$，别把 $|OD|=2$ 当高；$F$ 到底面的距离就是 $F$ 的 $z$ 坐标 $\sqrt{3}$，因为底面恰是坐标面。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多面体平行与体积题与 2011-大纲卷文-20、2011-新课标卷文-18、2011-江西卷文-18 同族。

结论推广：推广：凡是给出”两个平面互相垂直”的图形题，把这两个平面取作坐标面建系最省力；正三角形顶点坐标模板：底边端点 $A$，$D$ 确定后，第三点在底边垂直平分线上，高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}\times$ 边长。

方法推广：立体几何计算题优先建系向量法：写坐标 $\to$ 向量运算（平行 $/$ 垂直 $/$ 角 $/$ 距离）$\to$ 回到几何语言作答；体积问题先明确”底”与”高”的载体。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2011-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与求高
• 2011-江西卷文-18 解-翻折棱锥体积与垂直