2010-大纲卷I文-07 单-对数与基本不等式

本题导读

考查对数与基本不等式。$\lg a=-\lg b$ 得 $ab=1$，$a+b>2$（$a=1$ 取等但此时 $a=b$ 矛盾），选 C。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 已知函数 $f(x)=|\lg x|$.若 $a\ne b$ 且 $f(a)=f(b)$，则 $a+b$ 的取值范围是()

A. $(1,+\infty )$　　　　　B. $[1,+\infty )$　　　　　C. $(2,+\infty )$　　　　　D. $[2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|\lg a|=|\lg b|$ 且 $a\ne b$ $\Rightarrow \lg a=-\lg b$，即 $ab=1$。
2. $a+b=a+\frac{1}{a}⩾2$，等号当且仅当 $a=1$。
3. $a=1$ 时 $a=b=1$，与 $a\ne b$ 矛盾，故取不到 $2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

函数定义域为 $x>0$。由 $|\lg a|=|\lg b|$，得 $\lg a=\lg b$ 或 $\lg a=-\lg b$。 前者给出 $a=b$，与题设矛盾，故只能 $\lg (ab)=0$，即 $ab=1$。 于是 $a+b=a+\frac{1}{a}$。由基本不等式 $a+\frac{1}{a}⩾2$， 等号成立当且仅当 $a=1$，这又导致 $a=b=1$，不符合 $a\ne b$。 所以 $a+b\in (2,+\infty )$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程与基本不等式求范围

核心方法：$|\lg a|=|\lg b|$ 分两种情形，排除 $a=b$ 得 $ab=1$

避坑指南：基本不等式取等条件 $a=1$ 恰好被 $a\ne b$ 排除，端点 $2$ 取不到——这是本题唯一的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$f(a)=f(b)$ 型条件先分类：同侧相等或异侧相反。

结论推广：$ab=1$ 时 $a+b=a+\frac{1}{a}$，对勾函数在 $(0,1)$ 与 $(1,+\infty )$ 上的值域都是 $(2,+\infty )$。

方法推广：范围题的端点是否可取，必须回到约束条件逐一验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-07 单-对数比较大小
• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-江苏卷-14 填-对数不等式与比值范围