2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值

本题导读

考查均值不等式。$x>0$ 时最小值 $2\sqrt{2}$（$x=\sqrt{2}$ 取得）。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 若 $x>0$，则 $x+\frac{2}{x}$ 的最小值为　　　　.

🔍【思路分析】

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1. 由基本不等式：$x+\frac{2}{x}⩾2\sqrt{x\times \frac{2}{x}}=2\sqrt{2}$。
2. 等号当且仅当 $x=\frac{2}{x}$，即 $x=\sqrt{2}>0$ 时成立。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x>0$，所以 $x+\frac{2}{x}⩾2\sqrt{x\cdot \frac{2}{x}}=2\sqrt{2}$， 等号成立当且仅当 $x=\frac{2}{x}$，即 $x=\sqrt{2}$。 因而最小值为 $2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式求最值

核心方法：$x+\frac{2}{x}⩾2\sqrt{2}$，取等 $x=\sqrt{2}$

避坑指南：$x>0$ 保证可直接用均值链；等号条件 $x=\frac{2}{x}$ 与定义域相容。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：和式最小值：积固定（$x\times \frac{2}{x}=2$）直接上均值不等式。

结论推广：取等点 $x=\sqrt{2}$ 必须落回定义域，负根舍去。

方法推广：若改成 $x<0$，最小值变最大值思路：令 $t=-x>0$ 再算，答案 $-2\sqrt{2}$ 是最大。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-17 解-均值不等式应用
• 2011-天津卷文-12 填-基本不等式最值
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2009-江苏卷-19 解-满意度与基本不等式