2010-大纲卷II文-16 填-球的两小圆圆心距

本题导读

考查球的两小圆。小圆半径 $\sqrt{7}$，$MP=NP=\sqrt{3}$，$\cos \angle MOP=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$MN=2\times 3\sin 30^{\circ }=3$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 已知球 $O$ 的半径为 $4$，圆 $M$ 与圆 $N$ 为该球的两个小圆，$AB$ 为圆 $M$ 与圆 $N$ 的公共弦，$AB=4$.若 $OM=ON=3$，则两圆圆心的距离 $MN=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 小圆半径 $r=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$；设 $P$ 为 $AB$ 中点，$MP=NP=\sqrt{7-4}=\sqrt{3}$。
2. $OA=OB$，$MA=MB$，$NA=NB$，故 $O,M,N,P$ 都在 $AB$ 的中垂面内，四者共面。
3. $OP=\sqrt{O{M}^2+M{P}^2}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$（$OM\perp$ 圆 $M$ 所在平面）。
4. $\cos \angle MOP=\frac{O{M}^2+O{P}^2-M{P}^2}{2\cdot OM\cdot OP}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\angle MOP=30^{\circ }$。
5. $M,N$ 关于 $OP$ 对称，$MN=2\times 3\sin 30^{\circ }=3$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

设两小圆的半径为 $r$。球心 $O$ 到圆 $M$ 所在平面的距离 $OM=3$， 故 $r=\sqrt{R^2-O{M}^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$，圆 $N$ 同理。 设 $P$ 为公共弦 $AB$ 的中点，则 $MP\perp AB$，且 $MP=NP=\sqrt{r^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{7-4}=\sqrt{3}.$ 因为 $OA=OB$，$MA=MB$，$NA=NB$，所以 $O,M,N$ 都在线段 $AB$ 的中垂面内， 即 $O,M,N,P$ 四点共面，问题化归为平面几何。 又 $OM\perp$ 圆 $M$ 所在平面，$MP$ 在该平面内，故 $OM\perp MP$， $OP=\sqrt{O{M}^2+M{P}^2}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}.$ 在 $△OMP$ 中， $\cos \angle MOP=\frac{O{M}^2+O{P}^2-M{P}^2}{2\cdot OM\cdot OP}=\frac{9+12-3}{2\times 3\times 2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2},$ 所以 $\angle MOP=30^{\circ }$。 $M,N$ 关于直线 $OP$ 对称，$\angle MON=60^{\circ }$，又 $OM=ON=3$， 故 $△OMN$ 为等边三角形，$MN=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面圆性质与公共弦

核心方法：$O,M,N,P$ 共面化归为平面两圆相交

避坑指南：降维是关键：$O,M,N,P$ 都在 $AB$ 的中垂面内，空间问题变成该截面内的平面几何；$OM\perp MP$ 的依据是球心与小圆圆心连线垂直于小圆所在平面。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球的截面圆半径 $r=\sqrt{R^2-d^2}$（$d$ 为球心到截面距离），垂径定理同样成立。

结论推广：弦的中点、两圆圆心、球心共面（都在弦的中垂面内）是处理公共弦问题的标准模型。

方法推广：$\cos \angle MOP=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 对应 $30^{\circ }$，$△OMN$ 为等边三角形，结论干净。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积
• 2009-大纲卷I文-15 填-球的截面
• 2011-大纲卷文-12 单-球的截面
• 2013-新课标I卷文-15 填-球截面与表面积