2010-大纲卷II理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数代数形式的算术运算、复数的乘方运算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 复数 ${\left(\frac{3-\text{i}}{1+\text{i}}\right)}^2=$ ()

A. $-3-4\text{i}$　　　　　B. $-3+4\text{i}$　　　　　C. $3-4\text{i}$　　　　　D. $3+4\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用分子分母同乘以分母的共轭复数化简括号内的复数。
2. 对化简后的复数运用平方公式计算出最终结果。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

计算括号内的式子： $\frac{3-\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{(3-\text{i})(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{2-4\text{i}}{2}=1-2\text{i}$

则： ${\left(\frac{3-\text{i}}{1+\text{i}}\right)}^2=(1-2\text{i}{)}^2=1-4\text{i}-4=-3-4\text{i}$

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法与乘方公式的应用。
2. 核心方法：分母实数化法。
3. 避坑指南：注意 ${\text{i}}^2=-1$，计算展开式时切勿混淆虚部符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材复数代数形式基础运算练习。
2. 结论推广：对形如 ${\left(\frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}\right)}^n$ 的问题，先将式内复数化为标准形式 $x+y\text{i}$，可大幅降低高次计算复杂度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算