2010-大纲卷II理-06 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合与计数原理、平均分组分配问题，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 将标号为 $1,2,3,4,5,6$ 的 $6$ 张卡片放入 $3$ 个不同的信封中，若每个信封放 $2$ 张，其中标号为 $1,2$ 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 ()

A. $12$ 种　　　　　B. $18$ 种　　　　　C. $36$ 种　　　　　D. $54$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：先将卡片 $1,2$ 作为整体选定一个信封放入，计算选法。
2. 第二步：将剩下的 $4$ 张卡片平均分成两组，分别放入剩下的 $2$ 个信封中，计算选法。
3. 第三步：运用分步乘法计数原理求得总放法数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：将卡片 $1,2$ 放入同一个信封，从 $3$ 个不同信封中选 $1$ 个，有 ${\text{C}}_3^1=3$ 种方法。 第二步：将剩余的 $4$ 张卡片（$3,4,5,6$）平均放入剩下的 $2$ 个信封，先从 $4$ 张中选 $2$ 张放入其中一个信封，有 ${\text{C}}_4^2=6$ 种方法；余下 $2$ 张放入最后一个信封，有 ${\text{C}}_2^2=1$ 种方法。

根据分步乘法计数原理，不同的放法共有： $N={\text{C}}_3^1\times {\text{C}}_4^2\times {\text{C}}_2^2=3\times 6\times 1=18\text{ 种}$

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列组合中的捆绑法与定元分配。
2. 核心方法：特殊元素优先安置法。
3. 避坑指南：注意信封是有区别的（消序与不消序的区分），切勿混淆“平均分组”与“平均分配到具体位置”的区别。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于组合数学中带约束条件的分组分配模型。
2. 结论推广：将 $n$ 个不同元素按特定约束放入 $m$ 个不同容器中，先算受限元素的分布，再算无受限元素的自由分布。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用