2010-天津卷文-21 解-椭圆弦长与垂直平分线

本题导读

考查椭圆综合。(1) $\frac{x^2}{4}+y^2=1$；(2) ①倾斜角 $\frac{\pi }{4}$ 或 $\frac{3\pi }{4}$；②$y_0=\pm 2\sqrt{2}$ 或 $y_0=\pm \frac{2\sqrt{14}}{5}$。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 $4$.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A,B$，已知点 $A$ 的坐标为 $(-a,0)$. ①若 $|AB|=\frac{4\sqrt{2}}{5}$，求直线 $l$ 的倾斜角； ②若点 $Q(0,y_0)$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=4$，求 $y_0$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $c^2=\frac{3}{4}{a}^2$，$b^2=\frac{1}{4}{a}^2$；菱形面积 $2ab=4$，得 $a^2=4,b^2=1$。
2. 设 $l:y=k(x+2)$，代入椭圆：$(1+4k^2)x^2+16k^{2}x+16k^2-4=0$，$x_B=\frac{2-8k^2}{1+4k^2}$。
3. $|AB|=\frac{4\sqrt{1+k^2}}{1+4k^2}=\frac{4\sqrt{2}}{5}\Rightarrow k^2=1$，倾斜角 $\frac{\pi }{4}$ 或 $\frac{3\pi }{4}$。
4. 中垂线上 $y_0=-\frac{6k}{1+4k^2}$，$\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=\frac{64k^4+60k^2-4}{(1+4k^2{)}^2}=4\Rightarrow k^2=\frac{2}{7}$，$y_0=\pm \frac{2\sqrt{14}}{5}$；$k=0$ 时 $y_0=\pm 2\sqrt{2}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

(2) ①$\frac{\pi }{4}$ 或 $\frac{3\pi }{4}$；②$y_0=\pm 2\sqrt{2}$ 或 $y_0=\pm \frac{2\sqrt{14}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得 $c^2=\frac{3}{4}{a}^2$，$b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}{a}^2$，即 $a=2b$。 四个顶点连成菱形，面积为 $\frac{1}{2}\times 2a\times 2b=2ab=4$，即 $ab=2$。 联立 $a=2b$ 与 $ab=2$，得 $a=2$，$b=1$。 椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。 (2) 由 (1) 知 $A(-2,0)$。设直线 $l:y=k(x+2)$，代入椭圆方程： $x^2+4k^2(x+2{)}^2=4\Rightarrow (1+4k^2)x^2+16k^{2}x+16k^2-4=0.$ 设 $B(x_2,y_2)$，由韦达定理 $-2+x_2=-\frac{16k^2}{1+4k^2}$， $x_2=\frac{2-8k^2}{1+4k^2},x_2+2=\frac{4}{1+4k^2},y_2=\frac{4k}{1+4k^2}.$ ①$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_2+2|=\frac{4\sqrt{1+k^2}}{1+4k^2}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$， 平方整理：$25(1+k^2)=2(1+4k^2{)}^2$，即 $32k^4-9k^2-23=0$， 解得 $k^2=1$（负根舍去），$k=\pm 1$。 直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi }{4}$ 或 $\frac{3\pi }{4}$。 ②先设 $k\ne 0$。$AB$ 中点 $M\left(-\frac{8k^2}{1+4k^2},\frac{2k}{1+4k^2}\right),$ 垂直平分线方程为 $y-y_M=-\frac{1}{k}(x-x_M)$，令 $x=0$： $y_0=y_M+\frac{x_M}{k}=\frac{2k}{1+4k^2}-\frac{8k}{1+4k^2}=-\frac{6k}{1+4k^2}.$ 计算数量积（记 $D=1+4k^2$）： $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=(-2)(x_2)+(-y_0)(y_2-y_0)=\frac{64k^4+60k^2-4}{D^2}.$ 令其等于 $4$： $64k^4+60k^2-4=4(1+4k^2{)}^2=64k^4+32k^2+4,$ 得 $28k^2=8$，$k^2=\frac{2}{7}$。 此时 $D=\frac{15}{7}$，$y_0=-\frac{6k}{D}=-\frac{14k}{5}$，代入 $k=\pm \frac{\sqrt{14}}{7}$，得 $y_0=\pm \frac{2\sqrt{14}}{5}.$ 再考虑 $k=0$：直线为 $y=0$，$A(-2,0),B(2,0)$，垂直平分线为 $y$ 轴，$Q(0,y_0)$ 恒在其上； $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=(-2,-y_0)\cdot (2,-y_0)=y_0^2-4=4\Rightarrow y_0=\pm 2\sqrt{2}.$ 综上，$y_0=\pm 2\sqrt{2}$ 或 $y_0=\pm \frac{2\sqrt{14}}{5}$。 （注：合集与精品解析源只印 $\pm \frac{2\sqrt{14}}{5}$，漏掉 $k=0$ 情形的 $\pm 2\sqrt{2}$，经多源核实补全。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程、弦长与垂直平分线

核心方法：韦达定理表出 $B$ 点与中点，数量积条件列方程

避坑指南：$k=0$ 的情形单独讨论：此时垂直平分线就是 $y$ 轴，$Q$ 自然在其上，解出 $y_0=\pm 2\sqrt{2}$——漏掉这一组是官方解析都踩过的坑，务必牢记斜率不存在与斜率为零都要单独检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线过椭圆顶点时，用韦达定理的”一根已知”可秒出另一根。

结论推广：菱形面积 $2ab$ 是椭圆四顶点连线的标准结论。

方法推广：$\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}$ 的坐标化计算先通分再合并，分母 $(1+4k^2{)}^2$ 全程保留。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆
• 2011-天津卷文-18 解-椭圆离心率与弦长
• 2009-辽宁卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值
• 2009-湖南卷文-20 解-椭圆中点弦