2011-天津卷文-18 解-椭圆离心率与弦长

本题导读

本题考查椭圆的定义与离心率，以及直线与椭圆相交的弦长。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$.点 $P(a,b)$ 满足 $|P{F}_2|=|F_1{F}_2|$.

(1) 求椭圆的离心率 $e$；

(2) 设直线 $P{F}_2$ 与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点，若直线 $P{F}_2$ 与圆 $(x+1{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=16$ 相交于 $M$，$N$ 两点，且 $|MN|=\frac{5}{8}|AB|$，求椭圆的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 由 $|P{F}_2|=|F_1{F}_2|$ 得 $2e^2+e-1=0$
2. 步骤2：(2) 以 $F_2$ 为起点参数化直线
3. 步骤3：分别算椭圆弦 $|AB|$ 与圆弦 $|MN|$
4. 步骤4：由比例定 $a$

✅【答案】

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(1) $e=\frac{1}{2}$

(2) $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$，$F_2(c,0)$。由 $P(a,b)$ 及题设：$(a-c{)}^2+b^2=4c^2$。

代入 $b^2=a^2-c^2$：$2a^2-2ac=4c^2$。令 $e=\frac{c}{a}$：$2-2e=4e^2$，即 $2e^2+e-1=0$，故 $e=\frac{1}{2}$。

(2) 由 $e=\frac{1}{2}$ 得 $c=\frac{a}{2}$，$b=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。直线 $P{F}_2$ 的斜率为 $\frac{b-0}{a-\frac{a}{2}}=\sqrt{3}$，以 $F_2$ 为起点取方向单位向量 $u=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，直线上点为 $(\frac{a}{2}+\frac{t}{2},\frac{\sqrt{3}t}{2})$，$t$ 为有向距离。

代入椭圆方程：$\frac{(a+t{)}^2}{4a^2}+\frac{t^2}{a^2}=1$，即 $5t^2+2at-3a^2=0$，两根 $t=-a$，$t=\frac{3a}{5}$，故 $|AB|=\frac{3a}{5}+a=\frac{8a}{5}$。

圆心 $Q(-1,\sqrt{3})$，半径 $4$。直线 $P{F}_2$：$\sqrt{3}x-y-\frac{\sqrt{3}a}{2}=0$，圆心到直线的距离 $d=\frac{\left|-\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}a}{2}\right|}{2}=\frac{\sqrt{3}(a+4)}{4}$。

故 $|MN|=2\sqrt{16-d^2}=2\sqrt{16-\frac{3(a+4{)}^2}{16}}$。由 $|MN|=\frac{5}{8}|AB|=a$ 得 $a^2=64-\frac{3}{4}(a+4{)}^2$，即 $7a^2+24a-208=0$，解得 $a=4$（负根舍去）。

此时 $b=\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}$，$d=2\sqrt{3}<4$ 确有两交点。所求椭圆方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两点间距离公式与离心率；直线参数化求弦长；圆的弦长公式

核心方法：椭圆弦长用参数 $t$（有向距离）的二次方程两根差；圆弦长用 $2\sqrt{r^2-d^2}$；比例关系列出关于 $a$ 的方程

避坑指南：$|AB|$ 是两根差的绝对值 $\left|\frac{3a}{5}-(-a)\right|$，不要丢负根；由 $|MN|=\frac{5}{8}|AB|=a$ 化简时是 $4d^2$ 而非 $d^2$ 移项（$2\sqrt{16-d^2}=a$ 两边平方后 $4(16-d^2)=a^2$）；求出的 $a$ 须代回验证 $d<4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆离心率与弦长综合题与 2012-天津卷文-19、2013-天津卷文-18、2011-新课标卷文-04 同族。

结论推广：推广：过焦点 $F_2$、倾角 $60^{\circ }$ 的直线交椭圆的弦长可用 $t$ 参数法一般化；$|MN|=\frac{5}{8}|AB|$ 把两条曲线的弦长统一到参数 $a$ 上。

方法推广：圆锥曲线弦长题：参数法（单位方向向量+有向距离）比联立韦达更省力，尤其当直线过焦点且斜率特殊时。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-19 解-椭圆离心率与斜率
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2011-新课标卷文-04 单-椭圆离心率