2010-天津卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的除法运算，通过分子分母同乘以分母的共轭复数进行实数化求解。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） $\mathrm{i}$ 是虚数单位，复数 $\frac{-1+3\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}=$()

A. $1+\mathrm{i}$　　　　B. $5+5\mathrm{i}$　　　　C. $-5-5\mathrm{i}$　　　　D. $-1-\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用复数除法法则，分子分母同乘以分母的共轭复数 $1-2\mathrm{i}$。
2. 化简分子分母后求出代数形式 $a+b\mathrm{i}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{-1+3\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}=\frac{(-1+3\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{(1+2\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}=\frac{-1+2\mathrm{i}+3\mathrm{i}-6{\mathrm{i}}^2}{1^2-(2\mathrm{i}{)}^2}$

因为 ${\mathrm{i}}^2=-1$，所以： $=\frac{-1+5\mathrm{i}+6}{1+4}=\frac{5+5\mathrm{i}}{5}=1+\mathrm{i}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法的运算法则 $\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{c^2+d^2}$。
2. 核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数。
3. 避坑指南：注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的符号变换，展开分子时避免计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础复数除法运算法则考查。
2. 结论推广：若 $\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=x+y\mathrm{i}$，则模长满足 $|x+y\mathrm{i}|=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算