2010-天津卷理-05 单-双曲线

本题导读

本题考查抛物线准线方程与双曲线几何性质（渐近线、焦点）的综合应用。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的一条渐近线方程是 $y=\sqrt{3}x$，它的一个焦点在抛物线 $y^2=24x$ 的准线上，则双曲线的方程为()

A. $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{108}=1$　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$

C. $\frac{x^2}{108}-\frac{y^2}{36}=1$　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{27}-\frac{y^2}{9}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出抛物线 $y^2=24x$ 的准线方程 $x=-6$。
2. 双曲线一个焦点在准线上 $⟹$ 双曲线焦点为 $(-6,0)$，即 $c=6$。
3. 双曲线渐近线方程为 $y=\frac{b}{a}x=\sqrt{3}x⟹b=\sqrt{3}a$。
4. 利用 $a^2+b^2=c^2$ 列方程求出 $a^2,b^2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求抛物线准线与双曲线焦点 抛物线 $y^2=24x$ 中 $2p=24⟹p=12$，准线方程为： $x=-\frac{p}{2}=-6$

因为双曲线的一个焦点在直线 $x=-6$ 上，且双曲线焦点在 $x$ 轴上，所以焦点坐标为 $(-6,0)$，即： $c=6$

第二步：利用渐近线与 $a,b,c$ 关系求解 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 已知一条渐近线为 $y=\sqrt{3}x$，故： $\frac{b}{a}=\sqrt{3}⟹b=\sqrt{3}a⟹b^2=3a^2$

由双曲线基本性质 $a^2+b^2=c^2$： $a^2+3a^2=6^2=36⟹4a^2=36⟹a^2=9$

代入求 $b^2$： $b^2=3\times 9=27$

所以双曲线方程为： $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线准线 $x=-\frac{p}{2}$，双曲线渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 与关系 $c^2=a^2+b^2$。
2. 核心方法：由几何特征求参数 $c\to$ 由渐近线斜率求 $b/a\to$ 联立平方关系求 $a^2,b^2$。
3. 避坑指南：切勿混淆双曲线关系式 $c^2=a^2+b^2$ 与椭圆关系式 $a^2=b^2+c^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线（双曲线与抛物线）基础几何性质交汇题。
2. 结论推广：若焦点在抛物线 $y^2=2px$ 准线上，则双曲线 $c=\frac{p}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-06 单-双曲线渐近线与抛物线焦点
• 2012-山东卷文-11 单-双曲线渐近线与抛物线焦点
• 2013-天津卷文-11 填-抛物线与双曲线