2013-天津卷文-11 填-抛物线与双曲线

本题导读

本题考查抛物线的准线，以及双曲线的标准方程。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 已知抛物线 $y^2=8x$ 的准线过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的一个焦点，且双曲线的离心率为 $2$，则该双曲线的方程为 　　.

🔍【思路分析】

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1. $y^2=8x$：$2p=8$，准线 $x=-2$。
2. 准线过双曲线焦点 → $c=2$。
3. $e=\frac{c}{a}=2$ → $a=1$ → $b^2=c^2-a^2=3$。
4. 方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$。

✅【答案】

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$x^2-\frac{y^2}{3}=1$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=8x$ 中 $2p=8$，$p=4$，准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-2.$ 该准线过双曲线的一个焦点，而双曲线的焦点在 $x$ 轴上、坐标为 $(\pm c,0)$，故 $c=2.$ 又双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，所以 $a=1,b^2=c^2-a^2=4-1=3.$ 故所求双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的准线与双曲线的标准方程

核心方法：$y^2=8x$ 的准线 $x=-2$（$2p=8$，$\frac{p}{2}=2$）；准线过双曲线焦点 → $c=2$；$e=\frac{c}{a}=2\Rightarrow a=1$ → $b^2=c^2-a^2=3$ → $x^2-\frac{y^2}{3}=1$

避坑指南：抛物线 $y^2=2px$ 的准线是 $x=-\frac{p}{2}$（左、负），用它定出 $c=2$；再由 $e=2$ 得 $a=1$、$b^2=c^2-a^2=3$——双曲线的 $b^2$ 是 $c^2-a^2$，别与椭圆的 $a^2-c^2$ 混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的准线与双曲线的标准方程、离心率。

结论推广：准线方程定 $c$；$e=\frac{c}{a}$ 定 $a$；$b^2=c^2-a^2$。

方法推广：写准线 $x=-\frac{p}{2}$ → 由准线过焦点得 $c$ → 由 $e$ 定 $a$ → 写方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-07 单-双曲线离心率充要
• 2013-广东卷文-09 单-椭圆标准方程
• 2014-四川卷文-11 填-双曲线离心率