2010-天津卷理-07 单-解三角形

本题导读

本题考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，通过边角互化求内角 $A$ 的大小。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别是 $a,b,c$，若 $a^2-b^2=\sqrt{3}bc$，$\sin C=2\sqrt{3}\sin B$，则 $A=$()

A. $30^{\circ }$　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　C. $120^{\circ }$　　　　　　D. $150^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由正弦定理 $\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}$ 及 $\sin C=2\sqrt{3}\sin B$，推出边长关系 $c=2\sqrt{3}b$。
2. 将 $c=2\sqrt{3}b$ 代入已知条件 $a^2-b^2=\sqrt{3}bc$ 中，用 $b$ 表示出 $a^2$。
3. 利用余弦定理 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 求出 $\cos A$ 的值，进而确定角 $A$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由正弦定理求边 $c$ 与 $b$ 的关系 已知 $\sin C=2\sqrt{3}\sin B$，根据正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 可得： $c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{b\cdot 2\sqrt{3}\sin B}{\sin B}=2\sqrt{3}b$

第二步：代入边长代数式求解 $a^2$ 已知 $a^2-b^2=\sqrt{3}bc$，将 $c=2\sqrt{3}b$ 代入： $a^2-b^2=\sqrt{3}b(2\sqrt{3}b)=6b^2$ $a^2=7b^2$

第三步：用余弦定理求 $\cos A$ 及角 $A$ 根据余弦定理： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

将 $c=2\sqrt{3}b$ 和 $a^2=7b^2$ 代入： $\cos A=\frac{b^2+(2\sqrt{3}b{)}^2-7b^2}{2\cdot b\cdot (2\sqrt{3}b)}=\frac{b^2+12b^2-7b^2}{4\sqrt{3}{b}^2}=\frac{6b^2}{4\sqrt{3}{b}^2}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

因为 $A\in (0^{\circ },180^{\circ })$，且 $\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$： $A=30^{\circ }$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理边角转换 $\sin C/\sin B=c/b$ 与余弦定理 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$。
2. 核心方法：齐次化（用单一变量 $b$ 表示 $a^2,b^2,c^2$ 与 $bc$）$\to$ 代入余弦定理约去 $b^2$。
3. 避坑指南：计算 $(2\sqrt{3}b{)}^2=12b^2$ 须准确，切勿误算为 $6b^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解三角形正余弦定理综合基础大题的前半部分考查。
2. 结论推广：解三角形中若已知两边及边平方线性关系，均可通过消元转化为余弦定理求角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-08 单-正弦余弦定理定边
• 2012-重庆卷文-13 填-余弦定理与正弦定理
• 2014-福建卷理-12 填-正弦定理与余弦定理的综合应用