2014-福建卷理-12 填-正弦定理与余弦定理的综合应用

本题导读

本题考查解三角形的基本方法及三角形面积的计算。既可以利用正弦定理求出特殊角，发现其为直角三角形后快速求解；也可以直接利用余弦定理列方程求出第三边，再代入面积公式计算。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$A=60^{\circ },AC=4,BC=2\sqrt{3}$，则 $△ABC$ 的面积等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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已知两边及其中一边的对角（即 SSA 模型），通常有两种通用解法： 解法一（正弦定理）：利用 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求出 $\angle B$ 的正弦值。由于本题数据特殊，求出的 $\sin B=1$，从而判定该三角形为直角三角形，进而求出第三边和面积。 解法二（余弦定理）：设 $AB=c$，利用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 建立关于 $c$ 的一元二次方程。解出 $c$ 后，直接套用面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 进行计算。

✅【答案】

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$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：利用正弦定理 在 $△ABC$ 中，已知 $A=60^{\circ },b=AC=4,a=BC=2\sqrt{3}$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{4}{\sin B}$ 代入 $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，有： $\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sin B}$ $4=\frac{4}{\sin B}$ 解得 $\sin B=1$。 因为 $B\in (0^{\circ },180^{\circ })$，所以 $B=90^{\circ }$。 此时 $△ABC$ 为以 $\angle B$ 为直角的直角三角形。 则 $C=180^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$。 在 $Rt△ABC$ 中，直角边 $AB=c=AC\cdot \cos A=4\cos 60^{\circ }=2$。 所以 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。

方法二：利用余弦定理 设边 $AB$ 的长为 $c$。 由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 得： $(2\sqrt{3}{)}^2=4^2+c^2-2\times 4\times c\times \cos 60^{\circ }$ $12=16+c^2-8c\times \frac{1}{2}$ 整理得：$c^2-4c+4=0$ 即 $(c-2{)}^2=0$，解得 $c=2$。 由三角形面积公式得： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times 4\times 2\times \sin 60^{\circ }=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。

故答案为 $2\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理与三角形面积公式

2. 核心方法：用正弦定理判出 $B=90^{\circ }$，或用余弦定理列方程求第三边再求面积

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 已知两边及一边对角（SSA）的解三角形

2. 结论推广: SSA 模型可用正弦定理判角或用余弦定理列方程求边。

3. 方法推广: 可迁移到解三角形求面积、求边角类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-17 解-正余弦定理
• 2013-江苏卷-18 解-正余弦定理
• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理