2010-天津卷理-09 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的几何意义及集合包含关系的代数转化。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 设集合 $A=\{x\mid |x-a|<1,x\in \mathbb{R}\}$，$B=\{x\mid |x-b|>2,x\in \mathbb{R}\}$. 若 $A\subseteq B$，则实数 $a,b$ 必满足()

A. $|a+b|\le 3$　　B. $|a+b|\ge 3$　　C. $|a-b|\le 3$　　D. $|a-b|\ge 3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解集合 $A$ 和 $B$：

• $A:|x-a|<1⟺a-1<x<a+1$，即区间 $(a-1,a+1)$。
• $B:|x-b|>2⟺x<b-2$ 或 $x>b+2$，即区间 $(-\infty ,b-2)\cup (b+2,+\infty )$。

2. 分析 $A\subseteq B$：区间 $A$ 必须完全落在 $B$ 的左半分支或右半分支内。

• 分支一：$A\subseteq (-\infty ,b-2)⟹a+1\le b-2⟹b-a\ge 3$；
• 分支二：$A\subseteq (b+2,+\infty )⟹a-1\ge b+2⟹a-b\ge 3$。

3. 综合两分支得出 $|a-b|\ge 3$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简集合 $A$ 和 $B$ 由绝对值不等式的解法： $A=\{x\mid |x-a|<1\}=(a-1,a+1)$ $B=\{x\mid |x-b|>2\}=(-\infty ,b-2)\cup (b+2,+\infty )$

第二步：根据包含关系 $A\subseteq B$ 建立不等式 因为 $A$ 是开区间，要使 $A\subseteq B$，$A$ 的整个区间必须完全位于 $B$ 的某一部分内部：

• 情形 1：$A$ 完全在 $x<b-2$ 区域内，则 $A$ 的右端点不大于 $b-2$： $a+1\le b-2⟹b-a\ge 3$

• 情形 2：$A$ 完全在 $x>b+2$ 区域内，则 $A$ 的左端点不小于 $b+2$： $a-1\ge b+2⟹a-b\ge 3$

综合情形 1 与情形 2： $a-b\ge 3\text{或}a-b\le -3$

即： $|a-b|\ge 3$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式与集合包含关系 $A\subseteq B$。
2. 核心方法：数轴定位法 $\to$ 区间端点覆盖条件列不等式。
3. 避坑指南：注意 $A\subseteq B$ 中 $A$ 不能跨越补集区间 $[b-2,b+2]$，必须整体处于某一侧。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：集合关系与绝对值不等式结合题。
2. 结论推广：对 $A=(a-r_1,a+r_1)$ 与 $B=(-\infty ,b-r_2)\cup (b+r_2,+\infty )$，若 $A\subseteq B$，则必须有 $|a-b|\ge r_1+r_2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式