本题导读
本题考查平面图顶点染色问题，通过对对称顶点 或 的颜色同异分类讨论求解。
📌【题干】
Question
（2010年天津卷(理)） 如图，用四种不同颜色给图中的 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有()
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
/2010-天津卷理-10-题.png)
🔍【思路分析】
破题导航
- 分析图形对称性：
- 节点 与 相连；节点 与 相连；
- 考虑先对中间轴 涂色，或者按图形上下对称对顶点分类讨论。
- 按 颜色分类：
- 有 种选法； 与 有线段相连，故 有 种选法（两点颜色必不同）。
- 分析剩余顶点 与 ：
- 对上三角 ： 邻接 ，且 相连。
- 对下三角 ： 邻接 ，且 相连。
- 注意 还与 相连， 还与 相连，利用分类讨论（如 同色与异色）准确计数。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
第一步：先给 涂色
- 点有 种颜色可选；
- 与 相连，故 点有 种颜色可选。 此时 颜色组合有 种。 不妨设 涂颜色 1， 涂颜色 2。此时剩余可选颜色为 以及颜色 1 和 2。
第二步：对上区域 和下区域 涂色
- 步骤 1：涂 均不能涂 的颜色（1），且 相连，故 涂不同颜色，且都不为 1：
- 从剩余 3 种颜色（2, 3, 4）中为 选择不同颜色，共有 种填法。
在这 6 种填法中，分为两类讨论 是否包含 的颜色（2）：
- 类 1： 中有一个涂了 的颜色（2）（如 或 ） 种数： 种。
- 设 ：
- 邻接 和 ，所以 不能涂 2，共有 种选法；
- 邻接 和 ，所以 不能与 2, 3 及 同色，当 确定后，分析 的种数：
- 若 涂 3（与 同）： 不能为 2, 3，可涂 1 或 4（2 种）；
- 若 涂 1 或 4（2 种）： 不能为 2, 3 和 ，剩余 1 种。
- 故对每个确定情况， 共有 种选法。
- 类 2： 都不涂 的颜色（2）（即 使用颜色 3, 4） 种数： 种（即 或 ）。
- 设 ：
- 邻接 和 ，所以 不能涂 2, 3，只能涂 1 或 4（2 种）；
- 邻接 和 ：
- 若 涂 4： 不能为 2, 4，可涂 1 或 3（2 种）；
- 若 涂 1： 不能为 2, 4, 1，只能涂 3（1 种）；
- 故 共有 种选法。
第三步：计算总涂色方法数
结合第二步分类：
- 类 1（4 种组合）：每种组合下 有 4 种选法 种；
- 类 2（2 种组合）：每种组合下 有 3 种选法 种。
故 共有 种涂色法。
乘以 的 12 种涂法：
故选 B
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：图着色计数与分类加法/分步乘法计数原理。
- 核心方法：轴心点 优先涂色 环形节点同色/异色分类讨论。
- 避坑指南：注意 与 、 与 之间有线段相连，涂色时切勿漏算这两个约束条件。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：图论中的“色数与色多项式”高考创新应用题。
- 结论推广：对包含多重环路的对称结构，优先选择度数最高（连接线最多）的节点进行突破。
🔗【关联脉络】
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