2010-天津卷理-12 填-三视图

本题导读

本题考查由三视图还原几何体并计算其体积，主要考查空间想象能力与体积公式应用。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析三视图还原几何体：

• 下半部分：正视图和侧视图都是高为 $2$、宽为 $1$ 的矩形，俯视图为边长为 $1$ 的正方形（虚线框），故下半部分是一个高为 $2$、底面为边长 $1$ 的正方形的正四棱柱（长方体）。
• 上半部分：正视图和侧视图都是底边为 $2$、高为 $1$ 的三角形，俯视图为边长为 $2$ 的正方形且带对角线，故上半部分是一个高为 $1$、底面为边长 $2$ 的正方形的正四棱锥。

2. 分别计算两部分体积并求和：

• $V_{\text{长方体}}=S_{\text{底}}\cdot h_1=1^2\cdot 2=2$；
• $V_{\text{四棱锥}}=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h_2=\frac{1}{3}\cdot 2^2\cdot 1=\frac{4}{3}$；
• 总体积 $V=2+\frac{4}{3}=\frac{10}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{10}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：还原几何体结构 该组合体由上、下两部分组成：

• 下部分为正四棱柱（长方体）：底面是边长为 $1$ 的正方形，高为 $2$；
• 上部分为正四棱锥：底面是边长为 $2$ 的正方形，高为 $1$。

第二步：计算各部分体积

1. 下部分四棱柱的体积 $V_1$： $V_1=1\times 1\times 2=2$

2. 上部分四棱锥的体积 $V_2$： $V_2=\frac{1}{3}\times (2\times 2)\times 1=\frac{4}{3}$

第三步：求总体积 $V=V_1+V_2=2+\frac{4}{3}=\frac{10}{3}$

故答案为：$\frac{10}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原几何体（棱柱与棱锥的组合体）及体积计算。
2. 核心方法：识图拆分为常见柱体、锥体 $\to$ 分别代入体积公式求和。
3. 避坑指南：

• 注意四棱锥体积公式中的系数 $\frac{1}{3}$，切勿遗漏；
• 准确区分上、下两部分底面正方形的边长（上部分底面边长为 $2$，下部分底面边长为 $1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三视图考查几何体表面积与体积的典型经典考题。
2. 结论推广：对组合体求体积，通常采用“分割法”（各部分体积之和）或“补形法”（大几何体减去小几何体）。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-12 填-三视图五棱柱体积
• 2012-江西卷文-07 单-三视图六棱柱体积
• 2012-浙江卷文-03 单-三视图棱锥体积