2010-天津卷理-18 解-二项分布

本题导读

本题考查独立重复试验概率、互斥事件概率加法以及离散型随机变量分布列的求解。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 18. 某射手每次射击击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$，且各次射击的结果互不影响.

(1) 假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率；

(2) 假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标的概率；

(3) 假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分. 记 $\xi$ 为射手射击 3 次后的总的分数，求 $\xi$ 的分布列.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：5 次射击属于 5 重伯努利试验，设击中次数为 $X\sim B\left(5,\frac{2}{3}\right)$，直接用二项分布公式计算 $P(X=2)$。
2. 第 (2) 问：列出“3 次连续击中，2 次未击中”的所有排列顺序，共有 3 种互斥情形，分别求概率后相加。
3. 第 (3) 问：分析 3 次射击的所有结果（8 种可能），计算每种情形下的总得分 $\xi$，确定 $\xi$ 的所有可能取值（0, 1, 2, 3, 6），并分别计算对应的概率列出分布列。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，每次射击击中的概率为 $p=\frac{2}{3}$，未击中的概率为 $q=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.

(1) 求恰有 2 次击中目标的概率

设 5 次射击中击中目标的次数为 $X$，则 $X\sim B\left(5,\frac{2}{3}\right)$. 根据二项分布概率公式： $P_1={\mathrm{C}}_5^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^3=10\times \frac{4}{9}\times \frac{1}{27}=\frac{40}{243}$

答：恰有 2 次击中目标的概率为 $\frac{40}{243}$.

---

(2) 求有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标的概率

设“击中”为 1，“未击中”为 0. “3 次连续击中，另外 2 次未击中”的情况共有以下 3 种互斥的情形：

• (1, 1, 1, 0, 0)
• (0, 1, 1, 1, 0)
• (0, 0, 1, 1, 1)

每种情形发生的概率均为： $P={\left(\frac{2}{3}\right)}^3\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{27}\times \frac{1}{9}=\frac{8}{243}$

所以所求概率为： $P_2=3\times \frac{8}{243}=\frac{8}{81}$

答：有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标的概率为 $\frac{8}{81}$.

---

(3) 求 $\xi$ 的分布列

射击 3 次，可能的得分情况分析如下：

1. 击中 0 次（0, 0, 0）：得分 $\xi =0$. $P(\xi =0)={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$

2. 击中 1 次（1, 0, 0）、（0, 1, 0）、（0, 0, 1）：得分 $\xi =1+0=1$. $P(\xi =1)={\mathrm{C}}_3^1\times \frac{2}{3}\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{6}{27}$

3. 击中 2 次但不连续（1, 0, 1）：得基准分 2 分，无额外加分，得分 $\xi =2$. $P(\xi =2)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{27}$

4. 击中 2 次且连续（1, 1, 0）、（0, 1, 1）：得基准分 2 分 + 额外加分 1 分，得分 $\xi =3$. $P(\xi =3)=2\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^2\times \frac{1}{3}=\frac{8}{27}$

5. 击中 3 次（1, 1, 1）：得基准分 3 分 + 额外加分 3 分，得分 $\xi =6$. $P(\xi =6)={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$

所以，随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	$0$	$1$	$2$	$3$	$6$
$P$	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布公式、互斥事件排列计数与得分分布列。
2. 核心方法：

• 连续击中问题：直接罗列位置布局；
• 分布列问题：先穷举所有结果及对应得分，再求各自概率。

3. 避坑指南：

• 第 (2) 问不要遗漏中间（0, 1, 1, 1, 0）的情况；
• 第 (3) 问注意区分击中 2 次中“连续”与“不连续”的不同得分与对应种数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：真实应用场景包装的独立重复试验与随机变量分布列解答题。
2. 结论推广：在有规则加分项的概率题中，需先建立“结果序列 $\to$ 总得分”的映射关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用