2010-天津卷理-19 解-二面角

本题导读

本题考查长方体中的立体几何综合问题，通过建立空间直角坐标系，利用向量代数方法高效解决异面直线夹角、线面垂直证明以及二面角求解。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 19. 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E,F$ 分别是棱 $BC,C{C}_1$ 上的点，$CF=AB=2CE$，$AB:AD:A{A}_1=1:2:4$.

(1) 求异面直线 $EF$ 与 $A_{1}D$ 所成角的余弦值；

(2) 证明 $AF\perp$ 平面 $A_{1}ED$；

(3) 求二面角 $A_1-ED-F$ 的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定长方体的棱长并建系：

• 设 $AB=2$，则 $AD=4,A{A}_1=8$。
• 由已知 $CF=AB=2⟹CF=2$；$2CE=AB=2⟹CE=1$。
• 因为 $BC=AD=4$，所以 $BE=BC-CE=4-1=3$。
• 以 $D$ 为坐标原点，分别以 $DA,DC,D{D}_1$ 所在直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系 $D-xyz$。

2. 写出各点坐标与向量：

• $D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),A_1(4,0,8)$；
• $E(1,2,0)$（因 $E$ 在 $BC$ 上且 $CE=1⟹y_E=2,x_E=4-3=1$）；
• $F(0,2,2)$（因 $F$ 在 $C{C}_1$ 上且 $CF=2$）。

3. 第 (1) 问：求出 $\overrightarrow{EF}$ 和 $\overrightarrow{A_{1}D}$，用向量夹角余弦值绝对值求异面直线夹角。
4. 第 (2) 问：求出 $\overrightarrow{AF}$，证明 $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=0$ 且 $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{ED}=0$。
5. 第 (3) 问：求出平面 $A_{1}ED$ 和平面 $FED$ 的法向量，计算法向量夹角后转化为二面角的正弦值。

✅【答案】

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因此𝐴𝐹⟂平面𝐴1𝐸𝐷

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，不妨设 $AB=2$，则由比例 $AB:AD:A{A}_1=1:2:4$ 得： $AB=2,AD=4,A{A}_1=8$

由已知 $CF=AB=2CE$ 得： $CF=2,CE=1$ 因为 $BC=AD=4$，所以 $BE=BC-CE=3$.

如图，以 $D$ 为原点，$DA,DC,D{D}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系 $D-xyz$.

各关键点的坐标分别为：

• $D(0,0,0)$
• $A(4,0,0)$
• $C(0,2,0)$
• $A_1(4,0,8)$
• $E(1,2,0)$
• $F(0,2,2)$

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(1) 求异面直线 $EF$ 与 $A_{1}D$ 所成角的余弦值

求出相关向量的坐标： $\overrightarrow{EF}=(0-1,2-2,2-0)=(-1,0,2)$ $\overrightarrow{A_{1}D}=(0-4,0-0,0-8)=(-4,0,-8)$

计算向量数量积与模长： $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=(-1)\times (-4)+0\times 0+2\times (-8)=4+0-16=-12$ $|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+2^2}=\sqrt{5}$ $|\overrightarrow{A_{1}D}|=\sqrt{(-4{)}^2+0^2+(-8{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

设异面直线 $EF$ 与 $A_{1}D$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{A_{1}D}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{A_{1}D}|}=\frac{|-12|}{\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{5}}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$

答：异面直线 $EF$ 与 $A_{1}D$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{5}$.

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(2) 证明 $AF\perp$ 平面 $A_{1}ED$

求向量 $\overrightarrow{AF}$ 的坐标： $\overrightarrow{AF}=(0-4,2-0,2-0)=(-4,2,2)$

在平面 $A_{1}ED$ 中，取两相交向量： $\overrightarrow{A_{1}D}=(-4,0,-8)$ $\overrightarrow{ED}=(0-1,0-2,0-0)=(-1,-2,0)$

检验垂直关系： $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=(-4)\times (-4)+2\times 0+2\times (-8)=16+0-16=0⟹AF\perp A_{1}D$ $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{ED}=(-4)\times (-1)+2\times (-2)+2\times 0=4-4+0=0⟹AF\perp ED$

因为 $A_{1}D\cap ED=D$，且 $A_{1}D,ED\subset$ 平面 $A_{1}ED$， 所以 $AF\perp$ 平面 $A_{1}ED$.

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(3) 求二面角 $A_1-ED-F$ 的正弦值

由 (2) 知，$AF\perp$ 平面 $A_{1}ED$，所以向量 ${\mathbf{n}}_1=\overrightarrow{AF}=(-4,2,2)$ 为平面 $A_{1}ED$ 的一个法向量.

下面求平面 $FED$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$： 在平面 $FED$ 中，已知： $\overrightarrow{ED}=(-1,-2,0)$ $\overrightarrow{EF}=(-1,0,2)$

由 $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{ED}=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{EF}=0\end{array}$ 得： $\{\begin{array}{l}-x-2y=0⟹x=-2y\\ -x+2z=0⟹x=2z\end{array}$

取 $y=-1$，解得 $x=2,z=1$. 故平面 $FED$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(2,-1,1)$.

计算两法向量夹角的余弦值： $\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩=\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{(-4)\times 2+2\times (-1)+2\times 1}{\sqrt{(-4{)}^2+2^2+2^2}\cdot \sqrt{2^2+(-1{)}^2+1^2}}$ $=\frac{-8-2+2}{\sqrt{24}\cdot \sqrt{6}}=\frac{-8}{\sqrt{144}}=-\frac{8}{12}=-\frac{2}{3}$

设二面角 $A_1-ED-F$ 的平面角为 $\alpha$，则： $\cos \alpha =|\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩|=\frac{2}{3}$

所以二面角 $A_1-ED-F$ 的正弦值为： $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

答：二面角 $A_1-ED-F$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体建系、异面直线夹角公式 $\cos \theta =\frac{|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$、线面垂直判定（向量垂直于面内两相交向量）、法向量求二面角。
2. 核心方法：

• 第一步：按已知比例设出棱长求点坐标；
• 第二步：线面垂直转化为 $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=0$ 且 $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{ED}=0$；
• 第三步：直接将线面垂直推论出的 $\overrightarrow{AF}$ 作为第一个平面法向量。

3. 避坑指南：第 (3) 问最终求的是二面角的正弦值（$\sin \alpha$），求出余弦值 $\cos \alpha =\frac{2}{3}$ 后务必用同角三角公式换算为正弦值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：长方体中利用空间直角坐标系处理综合关系的经典高考大题。
2. 结论推广：对线面垂直证明题，若得出 $AF\perp$ 平面 $\alpha$，则 $\overrightarrow{AF}$ 可直接充当平面 $\alpha$ 的法向量，极大简化二面角的计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2013-重庆卷理-19 解-利用空间向量求二面角
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程