2010-安徽卷理-02 单-对数

本题导读

本题结合对数不等式的求解考查集合的补集运算，重点在于对数底数小于 1 时的单调性应用以及定义域的严格限制。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 若集合 $A=\left\{x|{\log }_{\frac{1}{2}}x\ge \frac{1}{2}\right\}$，则 ${\complement }_{\mathbf{R}}A=$ ()

A. $(-\infty ,0]\cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$　B. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$　C. $(-\infty ,0]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$　D. $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解对数不等式确定集合 $A$，需注意真数大于 0 的隐含条件以及底数为 $\frac{1}{2}$ 时不等号方向改变。

2. 针对全集 $\mathbf{R}$ 求取集合 $A$ 的补集，将区间边界进行取反处理。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对于集合 $A$，由对数不等式满足： $\{\begin{array}{l}x>0\\ x\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x>0\\ x\le \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$ 即 $A=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$。 在全集 $\mathbf{R}$ 下求补集，可得： ${\complement }_{\mathbf{R}}A=(-\infty ,0]\cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数的单调性、集合的补集定义。

2. 核心方法：数轴分析法。

3. 避坑指南：解对数不等式时最容易漏掉真数大于 0 （$x>0$）的前提条件，若漏掉此条件会误算 $A=\left(-\infty ,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ 进而错选 B 或 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自教材中对数函数性质与集合交并补运算的综合习题。

2. 结论推广: 设 $A=\{x|{\log }_{a}x\ge m\}$ ($0<a<1$)，则 $A=(0,a^m]$，其在 $\mathbf{R}$ 下的补集通式为 ${\complement }_{\mathbf{R}}A=(-\infty ,0]\cup (a^m,+\infty )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-03 单-对数不等式比较
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数