2010-安徽卷理-10 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列前 $n$ 项和公式的基本代数运算与恒等式的证明。由于题目对“任意等比数列”皆成立，可通过特值法进行快速筛选判定。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是任意等比数列，它的前 $n$ 项和，前 $2n$ 项和与前 $3n$ 项和分别为 $X,Y,Z$，则下列等式中恒成立的是()

A. $X+Z=2Y$　　　　　　　　　　　　B. $Y(Y-X)=Z(Z-X)$

C. $Y^2=XZ$　　　　　　　　　　　　　　D. $Y(Y-X)=X(Z-X)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 特值法思维：构造简单的等比数列（如常数数列 $q=1$ 或公比 $q=2$ 的数列），求出具体的 $X,Y,Z$ 代入各个选项实施排除。

2. 逻辑推理思维：利用等比数列求和公式将 $X,Y,Z$ 用首项 $a_1$ 和公比 $q^n$ 表达，通过因式分解验证两端代数式的等价性。

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：特值法 设等比数列为恒为 1 的常数列（即 $a_1=1,q=1$），取 $n=1$，则前 1, 2, 3 项和分别为： $X=1,Y=2,Z=3$ 将此组特值代入选项验证：

• 选项 A：$1+3=2\times 2$ （暂符合）
• 选项 B：$2\times (2-1)=2\ne 3\times (3-1)=6$ （排除）
• 选项 C：$2^2=4\ne 1\times 3=3$ （排除）
• 选项 D：$2\times (2-1)=2=1\times (3-1)=2$ （暂符合）

再重新构造一组公比 $q\ne 1$ 的数列。设 $a_1=1,q=2,n=1$，则： $X=1,Y=1+2=3,Z=1+2+4=7$ 再次验证剩余的 A 和 D 选项：

• 选项 A：$X+Z=1+7=8$，$2Y=6$，$8\ne 6$ （排除）
• 选项 D：左边 $=Y(Y-X)=3\times (3-1)=6$；右边 $=X(Z-X)=1\times (7-1)=6$，两边相等。

方法二：代数解析法 设等比数列首项为 $a_1$，公比为 $q$。记 $q^n=t$，则由求和公式变形可得： $X=S_n$ $Y=S_{2n}=S_n(1+t)$ $Z=S_{3n}=S_n(1+t+t^2)$ 代入选项 D 中：

• 左边 $=Y(Y-X)=S_n(1+t)\cdot [S_n(1+t)-S_n]=S_n(1+t)\cdot S_{n}t=S_n^{2}t(1+t)$

• 右边 $=X(Z-X)=S_n\cdot [S_n(1+t+t^2)-S_n]=S_n\cdot S_n(t+t^2)=S_n^{2}t(1+t)$ 左右两端化简结果完全一致，故等式恒成立。 正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列求和性质的代数证明（特别是参数化思想 $q^n=t$ ）。

2. 核心方法：选择题中，利用特值排除法解决“任意/恒成立”问题能极大地提升解题速度。

3. 避坑指南：不少考生易盲目套用等比段项和性质“$X,Y-X,Z-Y$ 成等比数列”，写出 $(Y-X{)}^2=X(Z-Y)$，但在选项中未找到该形式导致慌乱，需注意多项式展开的恒等变形。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题源于对等比数列片段和性质 $(S_{2n}-S_n{)}^2=S_n(S_{3n}-S_{2n})$ 的移项变形和再因式分解。

5. 结论推广: 对任意等比数列的前 $n,2n,3n$ 项和，通过展开变形可得通用恒等式 $\frac{Y-X}{X}=\frac{Z-Y}{Y-X}=q^n$（在分母不为零时成立）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件