2010-安徽卷理-16 解-解三角形

本题导读

本题主要考查三角恒等变换与解三角形的综合应用。第一问通过两角和与差的公式化简三角等式求出关键角；第二问结合向量数量积公式与余弦定理构造方程组求解边长。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 设 $△ABC$ 是锐角三角形，$a,b,c$ 分别是内角 $A,B,C$ 所对边长，并且 ${\sin }^{2}A=\sin \left(\frac{\pi }{3}+B\right)\sin \left(\frac{\pi }{3}-B\right)+{\sin }^{2}B$．

(1) 求角 $A$ 的值；

(2) 若 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=12$，$a=2\sqrt{7}$，求 $b,c$（其中 $b<c$）．

🔍【思路分析】

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1. 运用两角和与差的正弦公式（或积化和差）将已知等式右侧的 $\sin \left(\frac{\pi }{3}+B\right)\sin \left(\frac{\pi }{3}-B\right)$ 展开化简，求出 ${\sin }^{2}A$，再结合锐角三角形范围确定角 $A$。

2. 利用向量数量积公式 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=bc\cos A=12$ 求出 $bc$ 的乘积。

3. 结合余弦定理公式 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 建立关于 $b,c$ 的代数方程组，联立求解。

✅【答案】

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$（1）A=\pi 3.（2）b=4,c=6.$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 变形已知等式右边，利用三角恒等变换公式： $\sin \left(\frac{\pi }{3}+B\right)\sin \left(\frac{\pi }{3}-B\right)=\left(\sin \frac{\pi }{3}\cos B+\cos \frac{\pi }{3}\sin B\right)\left(\sin \frac{\pi }{3}\cos B-\cos \frac{\pi }{3}\sin B\right)$ $={\sin }^2\frac{\pi }{3}{\cos }^{2}B-{\cos }^2\frac{\pi }{3}{\sin }^{2}B=\frac{3}{4}(1-{\sin }^{2}B)-\frac{1}{4}{\sin }^{2}B=\frac{3}{4}-{\sin }^{2}B$ 代入原方程得： ${\sin }^{2}A=\left(\frac{3}{4}-{\sin }^{2}B\right)+{\sin }^{2}B=\frac{3}{4}$ 因为 $△ABC$ 是锐角三角形，所以 $A$ 为锐角，解得 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$． 故 $A=\frac{\pi }{3}$．

(2) 由 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=12$，得： $|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos A=bc\cos \frac{\pi }{3}=12⟹\frac{1}{2}bc=12⟹bc=24$ 由余弦定理得： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 代入 $a=2\sqrt{7}$ 和 $bc=24$ 得： $(2\sqrt{7}{)}^2=b^2+c^2-2\times 24\times \frac{1}{2}⟹28=b^2+c^2-24⟹b^2+c^2=52$ 联立方程组： $\{\begin{array}{l}bc=24\\ b^2+c^2=52\end{array}$ 可得 $(b+c{)}^2=b^2+c^2+2bc=52+48=100⟹b+c=10$． $(c-b{)}^2=b^2+c^2-2bc=52-48=4$． 因为 $b<c$，所以 $c-b=2$． 联立 $\{\begin{array}{l}b+c=10\\ c-b=2\end{array}$ 解得 $\{\begin{array}{l}b=4\\ c=6\end{array}$． 经检验，当 $a=2\sqrt{7},b=4,c=6$ 时， $△ABC$ 为锐角三角形，符合题意． 故 $b=4,c=6$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦和差公式、余弦定理的基本边角转化、向量数量积定义。

2. 核心方法：通过公式 $\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )={\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta$ 快速化简三角式；通过代数对称式性质（和与差）快速求解二次方程组。

3. 避坑指南：第一问求出 ${\sin }^{2}A=\frac{3}{4}$ 后，必须结合“锐角三角形”限制舍去 $A=\frac{2\pi }{3}$ 的可能。第二问求出解后应口算验证最大边 $c=6$ 所对的角 $C$ 是否也为锐角（$\cos C=\frac{28+16-36}{2\times 2\sqrt{7}\times 4}>0$），确保完全符合题意。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题基于人教A版必修5“解三角形”章节的基本定理大题改编，是高考常规固定的三角解答题型。

5. 结论推广: 三角恒等式 $\sin (A+B)\sin (A-B)={\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B$ 在处理此类乘积形式的化简时极具普适性，可直接推广至大题化简流程中。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-08 单-正弦余弦定理定边
• 2012-四川卷文-05 单-向量数量积求正弦
• 2012-重庆卷文-13 填-余弦定理与正弦定理