2012-四川卷文-05 单-向量数量积求正弦

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量夹角的正弦。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，延长 $BA$ 至 $E$，使 $AE=1$，连接 $EC$，$ED$，则 $\sin \angle CED=$()

!

A. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{10}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}}{15}$

🔍【思路分析】

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设 $A(0,0)$，$B(1,0)$，$C(1,1)$，$D(0,1)$，$E(-1,0)$，则 $\overrightarrow{EC}=(2,1)$，$\overrightarrow{ED}=(1,1)$，$\sin \angle CED=\frac{|2-1|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

建系：$A(0,0)$，$B(1,0)$，$C(1,1)$，$D(0,1)$，由 $AE=1$ 且 $E$ 在 $BA$ 延长线上得 $E(-1,0)$。

$\overrightarrow{EC}=(2,1)$，$\overrightarrow{ED}=(1,1)$。

$\cos \angle CED=\frac{\overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{ED}}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{ED}|}=\frac{2\times 1+1\times 1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$。

所以 $\sin \angle CED=\sqrt{1-\frac{9}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。

故选 B

（或用二维叉积：$\sin \theta =\frac{|2\times 1-1\times 1|}{\sqrt{5}\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量夹角公式；同角关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$（或二维叉积求正弦）

核心方法：几何图形建系是首选：点坐标写清后夹角只是一次数量积运算

避坑指南：$E$ 在 $BA$ 的延长线上（$B\to A$ 方向延长），坐标是 $(-1,0)$ 而不是 $(2,0)$；求正弦时用 $1-{\cos }^2$ 或叉积，别把 $\cos$ 的分母 $\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}$ 漏乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面几何图形中的向量夹角题，与 2013 年四川卷文第 5 题（同卷族抛物线）不同源，但与 2014 年新课标Ⅱ理第 15 题的”建系求角”思路同族。

结论推广：正方形/矩形中”边上延长一点”产生的角，建系后一律化为向量夹角；$\sin \theta =\frac{|x_1{y}_2-x_2{y}_1|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ 直接给正弦，可免开方二次。

方法推广：含图形的角度题：先建系（利用垂直），再用向量公式；正弦、余弦两个公式按需选用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-15 填-向量数量积求模
• 2012-上海卷文-12 填-向量数量积取值范围
• 2012-浙江卷文-15 填-向量数量积中线模型