2010-安徽卷理-19 解-椭圆

本题导读

本题是一道经典的解析几何综合大题。第一问通过基本量构造椭圆方程；第二问利用椭圆的光学性质（或角平分线几何性质）高效求解直线方程；第三问属于典型的对称性存在性问题，考查弦中点轨迹与判别式的综合判定。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 如图，已知椭圆 $E$ 经过点 $A(2,3)$，对称轴为坐标轴，焦点 $F_1,F_2$ 在 $x$ 轴上，离心率 $e=\frac{1}{2}$．

(1) 求椭圆 $E$ 的方程；

(2) 求 $\angle F_{1}A{F}_2$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程；

(3) 在椭圆 $E$ 上是否存在关于直线 $l$ 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：设标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)。利用 $e=\frac{1}{2}⟹a=2c$，$b^2=3c^2$，代入点 $A(2,3)$ 坐标即可求得 $c^2$，进而确定椭圆方程。

2. 第二问：利用椭圆的光学性质——从一个焦点发出的光线经椭圆壁反射后必过另一个焦点。因此，椭圆在点 $A$ 处的切线为 $\angle F_{1}A{F}_2$ 的外角平分线，而点 $A$ 处的法线即为 $\angle F_{1}A{F}_2$ 的内角平分线 $l$。求出切线斜率即可直接得到法线 $l$ 的方程。

3. 第三问：假设存在相异两点 $M,N$ 关于 $l$ 对称。则直线 $MN$ 的斜率与 $l$ 的斜率互为负倒数。设 $MN$ 方程为 $y=-\frac{1}{2}x+m$，联立椭圆方程得出关于中点坐标与 $m$ 的关系，再将中点代入直线 $l$ 方程求出 $m$，最后通过判别式 $\Delta$ 检验交点存在性。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：因为焦点在 $x$ 轴上，设椭圆 $E$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)． 由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得 $a=2c$，则 $b^2=a^2-c^2=3c^2$． 将点 $A(2,3)$ 代入椭圆方程得： $\frac{4}{4c^2}+\frac{9}{3c^2}=1⟹\frac{1}{c^2}+\frac{3}{c^2}=1⟹\frac{4}{c^2}=1$ 解得 $c^2=4$． 所以 $a^2=16$，$b^2=12$． 故椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．

(2) 解：由椭圆的光学性质可知，椭圆上一点 $A$ 处的法线即为该点与两焦点连线夹角 $\angle F_{1}A{F}_2$ 的角平分线． 首先求椭圆在点 $A(2,3)$ 处的切线方程： $\frac{2x}{16}+\frac{3y}{12}=1⟹\frac{x}{8}+\frac{y}{4}=1⟹x+2y-8=0$ 该切线的斜率为 $k_{\text{切}}=-\frac{1}{2}$． 因为角平分线 $l$ 与切线垂直，所以直线 $l$ 的斜率 $k_l=-\frac{1}{k_{\text{切}}}=2$． 又直线 $l$ 经过点 $A(2,3)$，由点斜式得： $y-3=2(x-2)⟹2x-y-1=0$ 故 $\angle F_{1}A{F}_2$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程为 $2x-y-1=0$．

(3) 解：假设在椭圆 $E$ 上存在满足条件的相异两点 $M(x_1,y_1)$ 和 $N(x_2,y_2)$． 因为 $M,N$ 关于直线 $l$ 对称，所以直线 $MN\perp l$，其斜率 $k_{MN}=-\frac{1}{k_l}=-\frac{1}{2}$． 设直线 $MN$ 的方程为 $y=-\frac{1}{2}x+m$． 联立直线 $MN$ 与椭圆 $E$ 的方程： $\{\begin{array}{l}y=-1/2x+m\\ 3x^2+4y^2=48\end{array}⟹3x^2+4{\left(-\frac{1}{2}x+m\right)}^2=48⟹4x^2-4mx+4m^2-48=0$ 化简得一元二次方程： $x^2-mx+m^2-12=0$． 设 $MN$ 的中点为 $P(x_0,y_0)$，则由根与系数的关系得： $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{m}{2}$ 将 $x_0=\frac{m}{2}$ 代入直线 $MN$ 的方程得： $y_0=-\frac{1}{2}\left(\frac{m}{2}\right)+m=\frac{3}{4}m$ 因为中点 $P(x_0,y_0)$ 必须在对称轴 $l:2x-y-1=0$ 上，将 $P\left(\frac{m}{2},\frac{3}{4}m\right)$ 代入得： $2\left(\frac{m}{2}\right)-\frac{3}{4}m-1=0⟹\frac{1}{4}m=1⟹m=4$ 当 $m=4$ 时，回归检验上述一元二次方程的判别式 $\Delta$： $\Delta =(-m{)}^2-4(m^2-12)=48-3m^2=48-3\times 16=0$ 因为 $\Delta =0$，说明直线 $MN$ 与椭圆相切，此时 $M,N$ 两点重合为一点（即点 $A$），与题意中“相异两点”矛盾． 故在椭圆 $E$ 上不存在关于直线 $l$ 对称的相异两点．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆锥曲线的对称弦问题、点差法与判别式制约关系。

2. 核心方法：第二问引入“光学性质法”可秒杀传统两点距离或夹角公式计算；第三问采取“设而不求”的中点坐标法建立参数方程。

3. 避坑指南：很多考生在第三问算出 $m=4$ 后便直接下结论“存在且中点为 $(2,3)$”，极其容易漏掉判别式 $\Delta >0$ 的检验。解析几何中凡涉及“相异两点”的存在性判定，判别式是第一安全网。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题基于椭圆第一定义与光学聚焦原理设计，是传统解析几何大题考查“对称与弦长”的标杆性试题。

5. 结论推广: 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若直线 $l$ 过椭圆上一点 $A$，且 $l$ 为该点处的法线，则椭圆上绝不存在关于 $l$ 对称的其它相异两点，因为该对称弦的中点必然迫近顶点或切点本身，导致 $\Delta ⩽0$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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