2010-山东卷理-01 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查解绝对值不等式以及实数集下的补集运算。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 已知全集 $U=\mathbb{R}$，集合 $M=\{x\mid |x-1|\le 2\}$，则 ${\complement }_{U}M=$()

A. $\{x\mid -1<x<3\}$　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x\mid -1\le x\le 3\}$

C. $\{x\mid x<-1\text{ 或 }x>3\}$　　　　　　　　　　　　D. $\{x\mid x\le -1\text{ 或 }x\ge 3\}$

🔍【思路分析】

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1. 解绝对值不等式 $|x-1|\le 2$ 求出集合 $M$。
2. 求全集 $\mathbb{R}$ 中集合 $M$ 的补集 ${\complement }_{U}M$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $|x-1|\le 2$ 可得： $-2\le x-1\le 2⟹-1\le x\le 3$ 即 $M=\{x\mid -1\le x\le 3\}$。

在全集 $U=\mathbb{R}$ 下求补集： ${\complement }_{U}M=\{x\mid x<-1\text{ 或 }x>3\}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式解法与补集定义。
2. 核心方法：先确定集合元素范围，再进行集合运算。
3. 避坑指南：注意“$\le$”求补集后变为“$<$”或“$>$”，两端取不到等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础集合与不等式结合题，考查基本运算能力。
2. 结论推广：对 $|x-a|\le r(r>0)$，其补集为 $(-\infty ,a-r)\cup (a+r,+\infty )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式