2010-山东卷理-09 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列单调性的判定及充要条件逻辑关系的推断，注意等比数列首项与公比对单调性的影响。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是等比数列，则“$a_1<a_2<a_3$”是“数列 $\{a_n\}$ 是递增数列”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 探究充分性：若 $a_1<a_2<a_3$，推导公比 $q$ 与首项 $a_1$ 的关系，判断是否对所有 $n$ 均有 $a_n<a_{n+1}$。
2. 探究必要性：若 $\{a_n\}$ 是递增数列，验证是否必有 $a_1<a_2<a_3$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。

• 充分性检验（$a_1<a_2<a_3⟹\{a_n\}$ 是递增数列）： 由 $a_1<a_2⟹a_1<a_{1}q⟹a_1(q-1)>0$。 由 $a_2<a_3⟹a_{1}q<a_1{q}^2⟹a_{1}q(q-1)>0$。 两式相比（或由 $a_1(q-1)>0$ 且 $a_{1}q(q-1)>0$）： 推出 $q>0$。 若 $q>1$，则由 $a_1(q-1)>0$ 得 $a_1>0$。此时 $a_n=a_1{q}^{n-1}>0$，且 $a_{n+1}-a_n=a_1{q}^{n-1}(q-1)>0$，故 $\{a_n\}$ 递增； 若 $0<q<1$，则由 $a_1(q-1)>0$ 得 $a_1<0$。此时 $a_{n+1}-a_n=a_1{q}^{n-1}(q-1)>0$（因为 $a_1<0,q-1<0$），故 $\{a_n\}$ 亦递增。 因此，“$a_1<a_2<a_3$”能推出“$\{a_n\}$ 是递增数列”，充分性成立。

• 必要性检验（$\{a_n\}$ 是递增数列 $⟹a_1<a_2<a_3$）： 若 $\{a_n\}$ 为递增数列，则对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 均有 $a_n<a_{n+1}$。 取 $n=1,2$，自然有 $a_1<a_2$ 且 $a_2<a_3$，即 $a_1<a_2<a_3$，必要性成立。

综上所述，“$a_1<a_2<a_3$”是“数列 $\{a_n\}$ 是递增数列”的充分必要条件。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列单调性充要条件与逻辑命题判断。
2. 核心方法：利用公比 $q$ 与首项 $a_1$ 正负性推导通项差 $a_{n+1}-a_n$ 的符号。
3. 避坑指南：切勿仅凭直觉认为“前三项递增不能保证后面递增”，对于等比数列，前三项的递增关系已唯一限定了 $a_1(q-1)$ 与 $q$ 的正负关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查等比数列性质与充分必要条件的深度理解。
2. 结论推广：等比数列 $\{a_n\}$ 递增的充要条件为：$\{\begin{array}{l}{a}_1>0\\ q>1\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}{a}_1<0\\ 0<q<1\end{array}$，这与“$a_1<a_2<a_3$”完全等价。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件