2010-山东卷理-12 单-向量

本题导读

本题考查向量新定义运算“$\odot$”（实际为二维向量叉积/行列式定义），需逐项代入坐标公式验证向量性质。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 定义平面向量之间的一种运算“$\odot$”如下：对任意的 $\mathbf{a}=(m,n),\mathbf{b}=(p,q)$，令 $\mathbf{a}\odot \mathbf{b}=mq-np$.下面说法错误的是()

A. 若 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线，则 $\mathbf{a}\odot \mathbf{b}=0$

B. $\mathbf{a}\odot \mathbf{b}=\mathbf{b}\odot \mathbf{a}$

C. 对任意的 $\lambda \in \mathbb{R}$，有 $(\lambda \mathbf{a})\odot \mathbf{b}=\lambda (\mathbf{a}\odot \mathbf{b})$

D. $(\mathbf{a}\odot \mathbf{b}{)}^2+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2=|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解定义：$\mathbf{a}\odot \mathbf{b}=mq-np$。
2. 逐项验证：

• A项：两向量共线条件为 $mq-np=0$；
• B项：计算 $\mathbf{b}\odot \mathbf{a}=pm-qn$，比较与 $mq-np$ 的关系；
• C项：代入 $\lambda \mathbf{a}=(\lambda m,\lambda n)$ 计算；
• D项：代入代数展开式验证恒等式 $(mq-np{)}^2+(mp+nq{)}^2=(m^2+n^2)(p^2+q^2)$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

分析 A 选项： 若 $\mathbf{a}=(m,n)$ 与 $\mathbf{b}=(p,q)$ 共线，则 $mq-np=0$。 由定义 $\mathbf{a}\odot \mathbf{b}=mq-np=0$，故 A 说法正确；

分析 B 选项： 由定义： $\mathbf{a}\odot \mathbf{b}=mq-np$ $\mathbf{b}\odot \mathbf{a}=pm-qn=-(mq-np)=-(\mathbf{a}\odot \mathbf{b})$ 所以 $\mathbf{a}\odot \mathbf{b}=-(\mathbf{b}\odot \mathbf{a})$（反对称性），故 B 说法错误；

分析 C 选项： 因为 $\lambda \mathbf{a}=(\lambda m,\lambda n)$，所以： $(\lambda \mathbf{a})\odot \mathbf{b}=(\lambda m)q-(\lambda n)p=\lambda (mq-np)=\lambda (\mathbf{a}\odot \mathbf{b})$ 故 C 说法正确；

分析 D 选项： 左边展开： $(\mathbf{a}\odot \mathbf{b}{)}^2+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2=(mq-np{)}^2+(mp+nq{)}^2$ $=(m^2{q}^2-2mnpq+n^2{p}^2)+(m^2{p}^2+2mnpq+n^2{q}^2)$ $=m^2{p}^2+m^2{q}^2+n^2{p}^2+n^2{q}^2=m^2(p^2+q^2)+n^2(p^2+q^2)=(m^2+n^2)(p^2+q^2)$ 右边为： $|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2=(m^2+n^2)(p^2+q^2)$ 左边等于右边，拉格朗日恒等式成立，故 D 说法正确。

本题要求选出说法错误的一项。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量坐标表示与新定义运算规则推导。
2. 核心方法：严格依照新定义代入坐标，进行代数运算与恒等式验证。
3. 避坑指南：注意新定义运算“$\odot$”不满足交换律，而是满足反对称律（$\mathbf{a}\odot \mathbf{b}=-\mathbf{b}\odot \mathbf{a}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：新定义运算 $\mathbf{a}\odot \mathbf{b}=mq-np$ 为二维空间向量的外积（叉积）模长/二阶行列式定义，D 项即为著名的拉格朗日恒等式在二维形式的体现。
2. 结论推广：从几何角度，$(\mathbf{a}\odot \mathbf{b}{)}^2+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2=(|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta {)}^2+(|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta {)}^2=|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心