2010-山东卷理-14 填-均值不等式

本题导读

本题考查利用基本不等式求分式函数的最值，进而解决不等式恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 若对任意 $x>0$，$\frac{x}{x^2+3x+1}\le a$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 不等式 $\frac{x}{x^2+3x+1}\le a$ 对任意 $x>0$ 恒成立，等价于 $a\ge {\left(\frac{x}{x^2+3x+1}\right)}_{\max }$。
2. 因为 $x>0$，将分式分子分母同除以 $x$，化简为 $\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$。
3. 利用基本不等式 $x+\frac{1}{x}\ge 2$ 求出该函数的最大值。

✅【答案】

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$\left[\frac{1}{5},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

记函数 $f(x)=\frac{x}{x^2+3x+1}(x>0)$。

因为 $x>0$，分子分母同除以 $x$ 得： $f(x)=\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$

因为 $x>0$，由基本不等式可得： $x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$ 当且仅当 $x=\frac{1}{x}$，即 $x=1$ 时等号成立。

所以分母的最小值为： $x+\frac{1}{x}+3\ge 2+3=5$

因此，函数 $f(x)$ 的最大值为： $f(x{)}_{\max }=\frac{1}{5}$

要使 $f(x)\le a$ 对任意 $x>0$ 恒成立，只需 $a\ge f(x{)}_{\max }$，即： $a\ge \frac{1}{5}$

故答案为：$\left[\frac{1}{5},+\infty \right)$（或 $a\ge \frac{1}{5}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 求分式最值与恒成立转化。
2. 核心方法：变形为 $x+\frac{1}{x}$ 结构 $\to$ 基本不等式求最值 $\to$ 取值范围确定。
3. 避坑指南：使用基本不等式时需验证“一正、二定、三相等”，本题当 $x=1$ 时等号成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查基本不等式求最值的标准应用。
2. 结论推广：对 $x>0$，函数 $g(x)=\frac{x}{A{x}^2+Bx+C}(A>0,C>0)$ 的最大值为 $\frac{1}{2\sqrt{AC}+B}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明