2010-山东卷理-18 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列基本量的求解、前 $n$ 项和公式的应用，以及利用裂项相消法求解新数列的前 $n$ 项和。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_3=7$，$a_5+a_7=26$.数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.

(1) 求 $a_n$ 及 $S_n$；

(2) 令 $b_n=\frac{1}{a_n^2-1}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：设等差数列首项为 $a_1$，公差为 $d$。由已知条件列出关于 $a_1,d$ 的二元一次方程组，解得 $a_1,d$，进而写出 $a_n$ 及 $S_n$。
2. 第 (2) 问：将 $a_n$ 代入 $b_n$，化简分式 $b_n=\frac{1}{(2n+1{)}^2-1}=\frac{1}{4n(n+1)}$。利用裂项公式 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，采用裂项相消法求前 $n$ 项和 $T_n$。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $a_n$ 及 $S_n$

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。

由 $a_3=7$，$a_5+a_7=26$，得方程组： $\{\begin{array}{l}{a}_1+2d=7\\ (a_1+4d)+(a_1+6d)=26\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{a}_1+2d=7\\ 2a_1+10d=26\end{array}$

将下式化简为 $a_1+5d=13$，与上式相减得： $3d=6⟹d=2$ 代入求得： $a_1=7-2(2)=3$

所以 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1$

前 $n$ 项和 $S_n$ 为： $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)=n^2+2n$

---

(2) 求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$

将 $a_n=2n+1$ 代入 $b_n$： $b_n=\frac{1}{a_n^2-1}=\frac{1}{(2n+1{)}^2-1}=\frac{1}{4n^2+4n+1-1}=\frac{1}{4n^2+4n}=\frac{1}{4n(n+1)}$

利用裂项相消法化简 $b_n$： $b_n=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$

所以数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ 为： $T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$ $T_n=\frac{1}{4}\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]$ $T_n=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{n}{4(n+1)}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列基本量计算与 $\frac{1}{n(n+1)}$ 结构的裂项相消求和。
2. 核心方法：

• 首项与公差“方程思想”；
• 裂项相消法：对 $b_n=\frac{1}{k\cdot g(n)g(n+1)}$ 进行拆分抵消。

3. 避坑指南：注意 $b_n$ 分母展开后常数项 $\frac{1}{4}$ 不要漏乘；计算中间相消后保留第一项 $1$ 和最后一项 $-\frac{1}{n+1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查数列基本量与经典裂项求和方法的综合运用。
2. 结论推广：若等差数列 $a_n=dn+c$，则 $\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)$ 均可用裂项相消求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和