2010-山东卷理-21 解-椭圆

本题导读

本题为解析几何压轴大题，考查椭圆与双曲线的方程求解、双曲线上动点连线斜率乘积为定值的性质证明，以及弦长倒数和（几何量恒成立）问题。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 $F_1,F_2$ 为顶点的三角形的周长为 $4(\sqrt{2}+1)$.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 $P$ 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 $P{F}_1$ 和 $P{F}_2$ 与椭圆的交点分别为 $A,B$ 和 $C,D$.

(1) 求椭圆和双曲线的标准方程；

(2) 设直线 $P{F}_1$、$P{F}_2$ 的斜率分别为 $k_1$、$k_2$，证明：$k_1\cdot k_2=1$；

(3) 是否存在常数 $\lambda$，使得 $|AB|+|CD|=\lambda |AB|\cdot |CD|$ 恒成立？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：焦点三角形周长为 $2a+2c=4(\sqrt{2}+1)$，结合 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解出 $a,c,b$，得出椭圆方程。由等轴双曲线顶点为 $(\pm c,0)$ 写出双曲线方程。
2. 第 (2) 问：设 $P(x_0,y_0)$ 为双曲线上一点，满足 $x_0^2-y_0^2=4$。写出 $k_1=\frac{y_0}{x_0+2},k_2=\frac{y_0}{x_0-2}$，计算 $k_1{k}_2=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}=1$ 得到证明。
3. 第 (3) 问：式子 $|AB|+|CD|=\lambda |AB|\cdot |CD|$ 等价于 $\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\lambda$。设直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示出过焦点的弦长 $|AB|$ 与 $|CD|$，证明其倒数和为定值 $\lambda$。

✅【答案】

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（1）设椭圆的半焦距为𝑐.由离心率得𝑐𝑎=√2

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求椭圆和双曲线的标准方程

设椭圆的半焦距为 $c$。 由椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为 $2a$，故焦点三角形的周长为： $2a+2c=4(\sqrt{2}+1)⟹a+c=2\sqrt{2}+2$

已知离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $c=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。代入上式得： $a+\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{2+\sqrt{2}}{2}a=2(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\dots$ $\frac{2+\sqrt{2}}{2}a=2\sqrt{2}+2=\sqrt{2}(2+\sqrt{2})⟹a=2\sqrt{2}$

因此： $c=\frac{\sqrt{2}}{2}\times 2\sqrt{2}=2$ $b^2=a^2-c^2=(2\sqrt{2}{)}^2-2^2=8-4=4$

故椭圆的标准方程为： $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$

椭圆焦点坐标为 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$。 已知等轴双曲线的顶点为椭圆的焦点 $(\pm 2,0)$，设双曲线标准方程为： $\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$ 因为为等轴双曲线，$a_1=b_1=2$。

故双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1\text{即 }{x}^2-y^2=4$

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(2) 证明：$k_1\cdot k_2=1$

设双曲线上异于顶点的任一点为 $P(x_0,y_0)$，因为点 $P$ 在双曲线 $x^2-y^2=4$ 上，所以： $x_0^2-y_0^2=4⟹y_0^2=x_0^2-4(x_0^2\ne 4)$

已知 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$，直线 $P{F}_1$ 和 $P{F}_2$ 的斜率分别为： $k_1=\frac{y_0}{x_0+2},k_2=\frac{y_0}{x_0-2}$

计算两斜率乘积： $k_1\cdot k_2=\frac{y_0}{x_0+2}\cdot \frac{y_0}{x_0-2}=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}$

将 $y_0^2=x_0^2-4$ 代入上式得： $k_1\cdot k_2=\frac{x_0^2-4}{x_0^2-4}=1$

故得证：$k_1\cdot k_2=1$。

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(3) 探究常数 $\lambda$ 的存在性

原条件等价于： $\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\lambda$

设直线 $AB$ 的方程为 $x=my-2$，代入椭圆方程 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1⟹x^2+2y^2=8$： $(my-2{)}^2+2y^2=8$ $(m^2+2)y^2-4my-4=0$

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由韦达定理： $y_1+y_2=\frac{4m}{m^2+2},y_1{y}_2=\frac{-4}{m^2+2}$

由弦长公式： $|AB|=\sqrt{1+m^2}|y_1-y_2|=\sqrt{1+m^2}\cdot \sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}$ $|AB|=\sqrt{1+m^2}\cdot \sqrt{\frac{16m^2}{(m^2+2{)}^2}+\frac{16(m^2+2)}{(m^2+2{)}^2}}=\sqrt{1+m^2}\cdot \frac{4\sqrt{2m^2+2}}{m^2+2}=\frac{4\sqrt{2}(m^2+1)}{m^2+2}$

所以过 $F_1(-2,0)$ 的弦长倒数为： $\frac{1}{|AB|}=\frac{m^2+2}{4\sqrt{2}(m^2+1)}=\frac{m^2+1+1}{4\sqrt{2}(m^2+1)}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(1+\frac{1}{m^2+1}\right)$

因为直线 $AB$ 斜率 $k_1=\frac{1}{m}$，代入可得： $\frac{1}{|AB|}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(1+\frac{k_1^2}{k_1^2+1}\right)$

同理，对于过 $F_2(2,0)$ 的弦 $CD$，其斜率为 $k_2$，弦长倒数为： $\frac{1}{|CD|}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(1+\frac{k_2^2}{k_2^2+1}\right)$

由 (2) 知 $k_1{k}_2=1⟹k_2=\frac{1}{k_1}$，代入 $\frac{1}{|CD|}$ 表达式中： $\frac{k_2^2}{k_2^2+1}=\frac{\frac{1}{k_1^2}}{\frac{1}{k_1^2}+1}=\frac{1}{1+k_1^2}$

所以： $\frac{1}{|CD|}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(1+\frac{1}{k_1^2+1}\right)$

求和： $\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(1+\frac{k_1^2}{k_1^2+1}\right)+\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(1+\frac{1}{k_1^2+1}\right)$ $\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(2+\frac{k_1^2+1}{k_1^2+1}\right)=\frac{1}{4\sqrt{2}}\times 3=\frac{3\sqrt{2}}{8}$

因此，存在常数 $\lambda =\frac{3\sqrt{2}}{8}$，使得 $|AB|+|CD|=\lambda |AB|\cdot |CD|$ 恒成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线标准方程计算、等轴双曲线代数性质 $k_1{k}_2=1$、弦长公式与对偶式化简。
2. 核心方法：

• 设直线为 $x=my+x_0$ 避免对斜率不存在情况的分类讨论；
• 巧用“倒数和”思想 $\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}$，结合 $k_1{k}_2=1$ 对齐变量化简。

3. 避坑指南：第 (3) 问直接对 $|AB|+|CD|=\lambda |AB||CD|$ 通分变形可大幅降低化简难度，切忌直接计算复杂的 $|AB|+|CD|$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题综合了圆锥曲线中的经典焦半径/焦点弦性质，双曲线上一点与两顶点连线斜率乘积为 $e^2-1=1$。
2. 结论推广：若椭圆 $\frac{x^2}{2b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，对过两焦点且斜率满足 $k_1{k}_2=1$ 的两条焦点弦 $AB$ 与 $CD$，恒有 $\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\frac{3}{4b}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-09 单-椭圆与双曲线渐近线
• 2011-浙江卷理-08 单-椭圆双曲线
• 2012-山东卷理-10 单-椭圆与双曲线