2010-广东卷理-13 填-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的循环逻辑追踪以及利用程序计算样本数据的方差。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 $n$ 位居民的月均用水量分别为 $x_1,\cdots ,x_n$（单位：吨）. 根据如图所示的程序框图，若 $n=2$，且 $x_1,x_2$ 分别为 $1,2$，则输出的结果 $s$ 为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 依据输入的 $n=2,x_1=1,x_2=2$ 及初始变量 $s_1=0,s_2=0,i=1$，逐次执行循环体。
2. 追踪每次循环后 $s_1,s_2,s,i$ 的更新值，直至 $i\le n$ 条件不成立时跳出循环输出 $s$。

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$\frac{1}{4}$（或 $0.25$）

✍【详细解析】

Abstract

按照程序框图逐步运行：

• 初始状态：$s_1=0,s_2=0,i=1$
• 第 1 次循环（$1\le 2$ 成立）： $s_1=0+x_1=1$ $s_2=0+x_1^2=1$ $s=\frac{1}{1}\left(1-\frac{1}{1}\times 1^2\right)=0$ $i=1+1=2$
• 第 2 次循环（$2\le 2$ 成立）： $s_1=1+x_2=1+2=3$ $s_2=1+x_2^2=1+4=5$ $s=\frac{1}{2}\left(5-\frac{1}{2}\times 3^2\right)=\frac{1}{2}\left(5-\frac{9}{2}\right)=\frac{1}{4}$ $i=2+1=3$

判断 $i\le 2$（$3\le 2$）不成立，跳出循环，输出 $s=\frac{1}{4}$（或 $0.25$）。

故答案为 $\frac{1}{4}$（或 $0.25$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：循环结构程序框图的理解与模拟执行、统计中样本方差的算法实现。
2. 核心方法：列表追踪变量法。
3. 避坑指南：注意 $i$ 在计算 $s$ 后自增，判断条件 $i\le n$ 决定循环执行次数；公式中注意 $s_1^2$ 的括号范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于必修三算法初步与统计中方差计算公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{1}{n}\left(\sum x_i^2-\frac{1}{n}(\sum x_i{)}^2\right)$ 的程序实现。
2. 结论推广: 该算法框图输出的 $s$ 即为 $n$ 个样本数据的样本方差。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-06 单-程序框图累加
• 2011-北京卷理-04 单-程序框图
• 2011-天津卷文-03 单-程序框图循环