2010-广东卷理-15 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程向直角坐标方程的转换、方程联立求交点，以及将直角坐标写回极坐标形式。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 在极坐标系 $(\rho ,\theta )$ ($0\le \theta <2\pi$) 中，曲线 $\rho =2\sin \theta$ 与 $\rho \cos \theta =-1$ 的交点的极坐标为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将两极坐标方程转换为直角坐标方程：$\rho =2\sin \theta$ 对应圆，$\rho \cos \theta =-1$ 对应直线。
2. 联立直角坐标方程求解交点的直角坐标 $(x,y)$。
3. 根据公式 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $\tan \theta =\frac{y}{x}$（结合点所在象限）求出交点的极坐标 $(\rho ,\theta )$。

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**$\left(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

✍【详细解析】

Abstract

将极坐标方程转化为直角坐标方程：

• 曲线 $\rho =2\sin \theta ⟹{\rho }^2=2\rho \sin \theta ⟹x^2+y^2=2y⟹x^2+(y-1{)}^2=1$（表示圆心为 $(0,1)$，半径为 $1$ 的圆）；
• 曲线 $\rho \cos \theta =-1⟹x=-1$（表示垂直于 $x$ 轴的直线）。

联立方程组： $\{\begin{array}{l}x=-1\\ x^2+y^2-2y=0\end{array}$

将 $x=-1$ 代入得： $(-1{)}^2+y^2-2y=0⟹(y-1{)}^2=0⟹y=1$

交点的直角坐标为 $(-1,1)$。

将直角坐标 $(-1,1)$ 转换为极坐标：

• 极径 $\rho =\sqrt{(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{2}$；
• 极角 $\tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{1}{-1}=-1$。

因为交点 $(-1,1)$ 在第二象限，且 $0\le \theta <2\pi$，所以 $\theta =\frac{3\pi }{4}$。

故交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4}\right)$。

故答案为 $\left(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标互化公式、极坐标确定。
2. 核心方法：直角坐标化转化法。
3. 避坑指南：由 $\tan \theta =-1$ 确定极角时，需根据点所在的象限判定 $\theta$ 的具体值（第二象限为 $\frac{3\pi }{4}$，而非 $-\frac{\pi }{4}$ 或 $\frac{7\pi }{4}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自选修4-4坐标系与参数方程中极坐标应用基础题。
2. 结论推广: 极坐标系中求两曲线交点，通常先转化为直角坐标求解以避免极角多值性带来的遗漏与错误。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$(\surd 2,3\pi 4)$

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-03 单-极坐标
• 2011-广东卷理-14 填-极坐标互化
• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标