2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标

本题导读

本题考查参数方程与普通方程互化，以及极坐标与直角坐标互化。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \alpha ,\\ y=2+2\sin \alpha \end{array}$（$\alpha$ 为参数），$M$ 是 $C_1$ 上的动点，$P$ 点满足 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，$P$ 点的轨迹为曲线 $C_2$.

(1) 求 $C_2$ 的方程；

(2) 在以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 与 $C_1$ 的异于极点的交点为 $A$，与 $C_2$ 的异于极点的交点为 $B$，求 $|AB|$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$ 坐标加倍后消参
2. 步骤2：(2) 射线 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 上极径代入两圆方程
3. 步骤3：$r_B=2r_A$

✅【答案】

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(1) $x^2+(y-4{)}^2=16$

(2) $2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，若 $M=(2\cos \alpha ,2+2\sin \alpha )$，则 $P=(4\cos \alpha ,4+4\sin \alpha )$。消去参数 $\alpha$，得

$C_2:x^2+(y-4{)}^2=16$。

（2）射线 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 上的点满足 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$。代入 $C_1:x^2+(y-2{)}^2=4$，得 $r^2-4r\sin \theta =0$。除去极点 $r=0$，在 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 时 $r_A=4\sin \frac{\pi }{3}=2\sqrt{3}$。

由于 $C_2$ 是 $C_1$ 关于原点的位似放大 $2$ 倍，故 $r_B=2r_A=4\sqrt{3}$。两点在同一射线上，所以 $|AB|=r_B-r_A=2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程消参；极坐标中圆与射线的交点极径；位似（比例放大）变换

核心方法：向量倍增把圆放大：圆心加倍、半径加倍；极坐标里同射线交点的极径之比等于位似比

避坑指南：$C_1$ 过极点（$x^2+(y-2{)}^2=4$ 在原点处 $r=0$），交点要取”异于极点”的那一个，即 $r=4\sin \theta \ne 0$ 的根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程与位似轨迹题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 23 题、2013 年新课标Ⅰ理第 23 题同族。

结论推广：$\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OM}$（$\lambda >0$）把曲线按 $\lambda$ 位似放大：圆心 $(a,b)\to (\lambda a,\lambda b)$、半径 $R\to \lambda R$；同射线上两交点的极径之比为 $\lambda$。

方法推广：参数方程选做题：向量关系先坐标化 → 消参得普通方程 → 涉及射线交点直接用极坐标代换，位似关系可省一次联立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-23 解-参数方程与距离和
• 2013-新课标I卷理-23 解-参数方程互化
• 2013-辽宁卷文-23 解-坐标系与参数方程