2010-广东卷理-20 解-几何证明

本题导读

本题考查利用交轨法求解动点轨迹方程（椭圆），以及过定点的切线（或唯一点关系）性质与相互垂直直线的综合应用，考查代数消元与变形能力。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，点 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_1,-y_1)$ 是双曲线上不同的两个动点.

(1) 求直线 $A_{1}P$ 与 $A_{2}Q$ 交点的轨迹 $E$ 的方程；

(2) 若过点 $H(0,h)$ ($h>1$) 的两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 与轨迹 $E$ 都只有一个交点，且 $l_1\perp l_2$，求 $h$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出 $A_1(-\sqrt{2},0),A_2(\sqrt{2},0)$，分别写出直线 $A_{1}P$ 和 $A_{2}Q$ 的方程，设交点为 $M(x,y)$。用 $x,y$ 表示 $x_1,y_1$，代入双曲线方程消去 $x_1,y_1$，注意去点限制。
2. 与轨迹 $E$（椭圆）只有一个交点，即直线与椭圆相切。设直线斜率为 $k$，写出过 $H(0,h)$ 的直线方程，联立方程由 $\Delta =0$ 导出斜率 $k$ 与 $h$ 的关系。
3. 利用两直线垂直斜率之积 $k_1{k}_2=-1$，建立关于 $h$ 的方程并求解。

✅【答案】

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（1）设交点为𝑀(𝑥,𝑦).直线𝐴1𝑃和𝐴2𝑄的方程分别为𝑦=𝑦1𝑥1+√2

✍【详细解析】

Abstract

(1) 双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 的顶点为 $A_1(-\sqrt{2},0)$，$A_2(\sqrt{2},0)$。 因为 $P(x_1,y_1)$ 与 $Q(x_1,-y_1)$ 是双曲线上不同的两个动点，所以 $y_1\ne 0$，且 $x_1^2=2(1+y_1^2)>2$，即 $x_1>\sqrt{2}$ 或 $x_1<-\sqrt{2}$。

直线 $A_{1}P$ 的方程为： $y=\frac{y_1}{x_1+\sqrt{2}}(x+\sqrt{2})\text{(1)}$ 直线 $A_{2}Q$ 的方程为： $y=\frac{-y_1}{x_1-\sqrt{2}}(x-\sqrt{2})\text{(2)}$

① $\times$ ② 得： $y^2=\frac{-y_1^2}{x_1^2-2}(x^2-2)$ 因为 $P(x_1,y_1)$ 在双曲线上，故 $\frac{x_1^2}{2}-y_1^2=1⟹x_1^2-2=2y_1^2$，即 $\frac{y_1^2}{x_1^2-2}=\frac{1}{2}$。 代入上式得： $y^2=-\frac{1}{2}(x^2-2)⟹\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 由 ① / ② 可得 $\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}=-\frac{x_1-\sqrt{2}}{x_1+\sqrt{2}}$，导出 $|x|<\sqrt{2}$ 且 $y\ne 0$。

故轨迹 $E$ 的方程为：$\frac{x^2}{2}+y^2=1$ （除去顶点 $(\pm \sqrt{2},0)$）。

(2) 设过点 $H(0,h)$ ($h>1$) 的直线 $l$ 方程为 $y=kx+h$。 联立直线 $l$ 与轨迹 $E$ 的方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+h\\ \frac{x^2}{2}+y^2=1\end{array}⟹(1+2k^2)x^2+4khx+2(h^2-1)=0$ 因为直线 $l$ 与轨迹 $E$ 只有一个交点，所以判别式 $\Delta =0$： $\Delta =(4kh{)}^2-8(1+2k^2)(h^2-1)=0$ 化简得： $16k^2{h}^2-8(h^2-1+2k^2{h}^2-2k^2)=0$ $16k^2{h}^2-8h^2+8-16k^2{h}^2+16k^2=0$ $16k^2=8h^2-8⟹k^2=\frac{h^2-1}{2}$

因为 $h>1$，所以 $h^2-1>0$，故方程有两个实数根 $k_1,k_2$： $k_1=\sqrt{\frac{h^2-1}{2}},k_2=-\sqrt{\frac{h^2-1}{2}}$ 由题意 $l_1\perp l_2$，即 $k_1{k}_2=-1$： $-{\left(\sqrt{\frac{h^2-1}{2}}\right)}^2=-1⟹\frac{h^2-1}{2}=1⟹h^2=3$ 又因 $h>1$，解得 $h=\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：代数交轨法求动点轨迹方程、直线与二次曲线相切条件（$\Delta =0$）及垂直关系。
2. 核心方法：两式相乘消去参数 $(x_1,y_1)$；过曲线外一点切线斜率的关系。
3. 避坑指南：第 (1) 问求出轨迹方程后，必须严格检验变量范围（去掉 $y=0$ 或 $x=\pm \sqrt{2}$ 对应不符合题设的点）；第 (2) 问由于 $H(0,h)$ 在 $y$ 轴上且 $h>1$，切线斜率必存在，无需另行讨论斜率不存在的特殊情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自对“双曲线对偶变形为椭圆”这一经典几何性质的考查，属于解析几何中的经典代数消元模型。
2. 结论推广：对椭圆/双曲线上两点 $P,Q$ 关于 $x$ 轴对称，若原曲线为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则交点轨迹为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。过椭圆外一点引两条相互垂直切线的点轨迹为蒙日圆（Monge’s circle）$x^2+y^2=a^2+b^2$。本题中 $a^2=2,b^2=1$，故蒙日圆为 $x^2+y^2=3$，当点在 $y$ 轴上时 $0^2+h^2=3⟹h=\sqrt{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-09 单-椭圆与双曲线渐近线
• 2011-浙江卷理-08 单-椭圆双曲线
• 2012-山东卷理-10 单-椭圆与双曲线