2010-新课标卷理-07 单-程序框图

本题导读

考查程序框图的循环逻辑以及数列裂项相消求和在算法中的综合应用。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 如果执行如图所示的框图，输入 $N=5$，则输出的数等于()

A. $\frac{5}{4}$　　　　　　　B. $\frac{4}{5}$　　　　　　　C. $\frac{6}{5}$　　　　　　　D. $\frac{5}{6}$

🔍【思路分析】

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1. 跟踪框图循环逻辑，确定 $S$ 的累加通项为 $\frac{1}{k(k+1)}$。
2. 确定循环终止条件：当 $k=N=5$ 时跳出循环，求得累加项终止于 $k=5$。
3. 利用裂项相消法计算 $S={\sum }_{k=1}^5\frac{1}{k(k+1)}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

分析程序框图的运行过程：

初始状态：$N=5,k=1,S=0$。

• $k=1$：$S=0+\frac{1}{1\times 2}$，判断 $1<5$（是），$k$ 变为 $2$；
• $k=2$：$S=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}$，判断 $2<5$（是），$k$ 变为 $3$；
• $k=3$：$S=\frac{1}{1\times 2}+\cdots +\frac{1}{3\times 4}$，判断 $3<5$（是），$k$ 变为 $4$；
• $k=4$：$S=\frac{1}{1\times 2}+\cdots +\frac{1}{4\times 5}$，判断 $4<5$（是），$k$ 变为 $5$；
• $k=5$：$S=\frac{1}{1\times 2}+\cdots +\frac{1}{5\times 6}$，判断 $5<5$（否），输出 $S$。

计算输出值 $S$： $S={\sum }_{k=1}^5\frac{1}{k(k+1)}={\sum }_{k=1}^5\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$ $S=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：循环结构框图与数列求和（裂项相消）。
2. 核心方法：列举前面几步归纳累加规律，精准确定终止时的 $k$ 值。
3. 避坑指南：注意判断框“$k<N$”执行在累加之后，当 $k=5$ 时完成最后一次累加后判断为“否”并退出，累加项共 $5$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：结合算法框图考查经典数列 $\frac{1}{n(n+1)}$ 的前 $n$ 项和。
2. 结论推广：输入为 $N$ 时，输出值为 $S_N=\frac{N}{N+1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$B.$

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-06 单-程序框图累加
• 2011-北京卷理-04 单-程序框图
• 2011-天津卷文-03 单-程序框图循环