2010-新课标卷理-17 解-等比数列

本题导读

本题考查递推数列通项公式的求解以及“等差$\times$等比”型数列的求和问题。第一问采用累加法，第二问采用错位相减法。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}-a_n=3\cdot 2^{2n-1}$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 令 $b_n=n{a}_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：由已知递推关系 $a_{n+1}-a_n=3\cdot 2^{2n-1}$，形如 $a_{n+1}-a_n=f(n)$，适合采用累加法。将式子从 $n=1$ 到 $n-1$ 累加，利用等比数列求和公式得出 $a_n$。
2. 第 (2) 问：将 (1) 中求得的 $a_n$ 代入 $b_n=n{a}_n$，将 $S_n$ 拆分为两部分求和：一部分是等差数列求和，另一部分是“等差 $\times$ 等比”型数列求和，采用错位相减法处理。

✅【答案】

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（1）由已知，𝑎𝑛=𝑎1+𝑛−1∑

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

当 $n\ge 2$ 时，由累加法可得： $a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_n-a_{n-1})$ $a_n=2+{\sum }_{k=1}^{n-1}3\cdot 2^{2k-1}$

注意到 ${\sum }_{k=1}^{n-1}3\cdot 2^{2k-1}=3\cdot \left(2^1+2^3+2^5+\cdots +2^{2n-3}\right)$。 这是一个首项为 $2$，公比为 $q=2^2=4$，项数为 $n-1$ 的等比数列。

其和为： ${\sum }_{k=1}^{n-1}3\cdot 2^{2k-1}=3\cdot \frac{2(4^{n-1}-1)}{4-1}=2(4^{n-1}-1)=2\cdot 2^{2n-2}-2=2^{2n-1}-2$

代入 $a_n$ 的表达式： $a_n=2+(2^{2n-1}-2)=2^{2n-1}$

当 $n=1$ 时，$a_1=2^{2(1)-1}=2^1=2$，符合原题条件。

故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=2^{2n-1}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

---

(2) 求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$

由 (1) 可知 $b_n=n{a}_n=n\cdot 2^{2n-1}=\frac{1}{2}n\cdot 4^n$。

故前 $n$ 项和为： $S_n=1\cdot 2^1+2\cdot 2^3+3\cdot 2^5+\cdots +n\cdot 2^{2n-1}$ 即： $S_n=1\cdot 2+2\cdot 8+3\cdot 32+\cdots +n\cdot 2^{2n-1}\text{(1)}$

等式两边同乘以公比 $q=2^2=4$： $4S_n=1\cdot 2^3+2\cdot 2^5+\cdots +(n-1)\cdot 2^{2n-1}+n\cdot 2^{2n+1}\text{(2)}$

用 ① 式减去 ② 式（错位相减）： $-3S_n=2^1+\left(2^3+2^5+\cdots +2^{2n-1}\right)-n\cdot 2^{2n+1}$

中间括号内为首项为 $8$，公比为 $4$，项数为 $n-1$ 的等比数列（若加上第一项 $2$，相当于首项为 $2$，公比为 $4$，项数为 $n$ 的等比数列）： $2^1+2^3+2^5+\cdots +2^{2n-1}=\frac{2(4^n-1)}{4-1}=\frac{2(2^{2n}-1)}{3}$

代入得： $-3S_n=\frac{2(2^{2n}-1)}{3}-n\cdot 2^{2n+1}$ $-3S_n=\frac{2\cdot 2^{2n}-2-3n\cdot 2\cdot 2^{2n}}{3}=\frac{(2-6n)2^{2n}-2}{3}$

两边同除以 $-3$ 得： $S_n=\frac{(6n-2)2^{2n}+2}{9}=\frac{(3n-1)2^{2n+1}+2}{9}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：累加法求数列通项公式，$a_n=d_n\cdot q^n$ 型数列的错位相减求和法。
2. 核心方法：

• 遇到 $a_{n+1}-a_n=f(n)$ 首选累加法，求和后务必检验 $n=1$ 是否成立；
• 错位相减时，注意乘上的公比是指数底数的平方（本题公比为 $4$ 而非 $2$）。

3. 避坑指南：错位相减减完后，最后一项 $-n\cdot 2^{2n+1}$ 前面的负号极易漏写；系数化简时需细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查高考数列两大核心方法（累加法与错位相减法）的基本功。
2. 结论推广：若 $b_n=A(n)\cdot q^n$（其中 $A(n)$ 为关于 $n$ 的一次函数），则其前 $n$ 项和 $S_n$ 必可化为 $(B(n)\cdot q^n+C)$ 的形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件