本题导读
考查椭圆的几何性质与直线与椭圆的综合应用。第一问巧用椭圆第一定义与等差数列性质求解离心率；第二问结合线段垂直平分线几何特征与联立方程求出椭圆标准方程。
📌【题干】
Question
（2010年新课标卷(理)） 设 分别是椭圆 的左、右焦点，过 且斜率为 的直线 与 相交于 两点，且 成等差数列.
(1) 求 的离心率；
(2) 设点 满足 ，求 的方程.
🔍【思路分析】
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- 第 (1) 问：利用等差数列中项性质得 。由椭圆定义， 的周长为 ，即 ，从而求出弦长 。设直线 并与椭圆方程联立，利用弦长公式建立 关系求离心率 。
- 第 (2) 问：利用 可知点 在弦 的垂直平分线上。利用 中点坐标及垂直平分线斜率为 过点 ，求出 和 的具体数值。
✅【答案】
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待补
✍【详细解析】
Abstract
(1) 求 的离心率
由题意，直线 过点 ，其方程为 。
因为 成等差数列，由等差中项性质得：
由椭圆的第一定义，对焦点 和圆上点 有：
两式相加，得 的周长：
因为 三点共线，故 ，所以：
将 ① 代入 ② 得：
将直线方程 代入椭圆方程 （其中 ）：
设 ，则由韦达定理：
由于直线斜率 ，由弦长公式：
同除以 ，并记离心率 （则 ）：
令其等于 ：
两边平方：
因为 ，故 。
(2) 求 的方程
由 (1) 知 ，所以 ，（即 ）。
化简 (1) 中方程组系数：
弦 的中点 坐标为：
即中点 。
因为 ，故点 在线段 的垂直平分线上。 已知直线 的斜率为 ，所以垂直平分线 的斜率为 。
由 和 ，计算 斜率：
解此方程：
因此：
故椭圆 的方程为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：椭圆的第一定义、离心率齐次式计算、垂直平分线（中点弦）性质。
- 核心方法：
- 几何定义法简化弦长与周长：利用焦点三角形周长为 迅速锁定 ；
- 垂直平分线问题转化为“中点坐标”与“斜率互为负倒数”。
- 避坑指南：第 (1) 问计算 弦长公式时，根号下的齐次式变形极易出繁琐化简错误，建议用离心率 统一变量。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：解析几何综合压轴题，融汇了定义法、韦达定理法与几何中点弦技巧。
- 结论推广：若过椭圆焦点 的直线与椭圆交于 ，则 周长恒等于 。
🔗【关联脉络】
Multi column