2010-江苏卷-22 解-利润分布列与二项分布

本题导读

考查分布列。（1）$X=-3,2,5,10$，$P=\frac{1}{50},\frac{2}{25},\frac{9}{50},\frac{18}{25}$；（2）$P(K⩾3)=\frac{512}{625}$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为 $80\%$，二等品率为 $20\%$；乙产品的一等品率为 $90\%$，二等品率为 $10\%$.生产 $1$ 件甲产品，若是一等品则获得利润 $4$ 万元，若是二等品则亏损 $1$ 万元；生产 $1$ 件乙产品，若是一等品则获得利润 $6$ 万元，若是二等品则亏损 $2$ 万元.设生产各种产品相互独立.

(1)记 $X$（单位：万元）为生产 $1$ 件甲产品和 $1$ 件乙产品可获得的总利润，求 $X$ 的分布列；

(2)求生产 $4$ 件甲产品所获得的利润不少于 $10$ 万元的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $U\in \{4,-1\}$，$V\in \{6,-2\}$，$X=U+V\in \{-3,2,5,10\}$。
2. 独立性逐格相乘。
3. $4$ 件甲中一等品数 $K\sim B\left(4,\frac{4}{5}\right)$，利润 $5K-4⩾10⟺K⩾3$。
4. $P={\mathrm{C}}_4^3{\left(\frac{4}{5}\right)}^3\frac{1}{5}+{\left(\frac{4}{5}\right)}^4=\frac{512}{625}$。

✅【答案】

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(1) $X$ 的分布列为 $P(X=-3)=\frac{1}{50}$，$P(X=2)=\frac{2}{25}$，$P(X=5)=\frac{9}{50}$，$P(X=10)=\frac{18}{25}$

(2) $\frac{512}{625}$

✍【详细解析】

Abstract

设生产 $1$ 件甲、乙产品的利润分别为 $U$、$V$，则 $P(U=4)=\frac{4}{5},P(U=-1)=\frac{1}{5},P(V=6)=\frac{9}{10},P(V=-2)=\frac{1}{10}.$ $U$、$V$ 相互独立，$X=U+V$。 （1）$X$ 的可能取值与概率： $P(X=-3)=\frac{1}{5}\times \frac{1}{10}=\frac{1}{50},P(X=2)=\frac{4}{5}\times \frac{1}{10}=\frac{2}{25},$ $P(X=5)=\frac{1}{5}\times \frac{9}{10}=\frac{9}{50},P(X=10)=\frac{4}{5}\times \frac{9}{10}=\frac{18}{25}.$ 分布列： $\begin{array}{ccccc}X& -3& 2& 5& 10\\ P& \frac{1}{50}& \frac{2}{25}& \frac{9}{50}& \frac{18}{25}\end{array}$ （2）设 $4$ 件甲产品中一等品件数为 $K$，则 $K\sim B\left(4,\frac{4}{5}\right)$。 总利润为 $4K-(4-K)=5K-4$。由 $5K-4⩾10\Rightarrow K⩾\frac{14}{5}\Rightarrow K⩾3,$ $P(K⩾3)={\mathrm{C}}_4^3{\left(\frac{4}{5}\right)}^3\left(\frac{1}{5}\right)+{\left(\frac{4}{5}\right)}^4=\frac{256}{625}+\frac{256}{625}=\frac{512}{625}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离散型随机变量分布列与二项分布

核心方法：列表枚举四种组合；利润不等式化为一等品件数不等式

避坑指南：$X=5$ 对应”甲亏乙赚”（$-1+6$）不要漏；$5K-4⩾10$ 解得 $K⩾\frac{14}{5}$，向上取整为 $3$；${\mathrm{C}}_4^3{\left(\frac{4}{5}\right)}^3\frac{1}{5}=\frac{256}{625}$ 与 ${\left(\frac{4}{5}\right)}^4=\frac{256}{625}$ 两项相等纯属巧合，别只算一项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两个独立两点分布之和的分布列：枚举 $\times$ 独立乘法公式。

结论推广：分布列验算：所有概率之和为 $1$。

方法推广：二项分布 $B(n,p)$ 中”至少 $k$ 次”用直接求和或对立事件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-23 解-计数与概率不等式
• 2009-江西卷文-18 解-独立重复概率
• 2009-陕西卷文-18 解-独立事件概率
• 2012-江苏卷-22 解-随机变量分布列与期望