2012-江苏卷-22 解-随机变量分布列与期望

本题导读

本题考查古典概型与组合计数。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 设 $\xi$ 为随机变量，从棱长为 $1$ 的正方体的 $12$ 条棱中任取两条，当两条棱相交时，$\xi =0$；当两条棱平行时，$\xi$ 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，$\xi =1$.

(1) 求概率 $P(\xi =0)$；

(2) 求 $\xi$ 的分布列，并求其数学期望 $E(\xi )$.

🔍【思路分析】

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$P(\xi =0)=\frac{4}{11}$；分布列为 $P(\xi =0)=\frac{4}{11}$，$P(\xi =1)=\frac{6}{11}$，$P(\xi =\sqrt{2})=\frac{1}{11}$；$E(\xi )=\frac{6+\sqrt{2}}{11}$。

✅【答案】

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(1) $P(\xi =0)=\frac{4}{11}$；(2) $P(\xi =0)=\frac{4}{11}$，$P(\xi =1)=\frac{6}{11}$，$P(\xi =\sqrt{2})=\frac{1}{11}$，$E(\xi )=\frac{6+\sqrt{2}}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

从 $12$ 条棱中任取两条，共有 ${\mathrm{C}}_{12}^2=66$ 种取法。

（1）正方体的每个顶点有 $3$ 条棱相交于该点，因此相交的棱对有 $8{\mathrm{C}}_3^2=24$ 对。每一对相交棱只有一个公共顶点，所以没有重复计数。因而 $P(\xi =0)=\frac{24}{66}=\frac{4}{11}$。

（2）按棱的方向分类，正方体有 $3$ 个方向，每个方向有 $4$ 条互相平行的棱，所以平行的棱对有 $3{\mathrm{C}}_4^2=18$ 对。对于同一方向的 $4$ 条棱，在垂直于该方向的正方形中对应四个顶点；其中相邻顶点给出距离 $1$，有 $4$ 对；两个对角顶点给出距离 $\sqrt{2}$，有 $2$ 对。因此距离为 $1$ 的平行棱对有 $3\times 4=12$ 对，距离为 $\sqrt{2}$ 的平行棱对有 $3\times 2=6$ 对。

其余棱对为异面棱对，数目为 $66-24-18=24$，这些棱对满足 $\xi =1$。

所以 $P(\xi =0)=\frac{24}{66}=\frac{4}{11}$，$P(\xi =1)=\frac{24+12}{66}=\frac{6}{11}$，$P(\xi =\sqrt{2})=\frac{6}{66}=\frac{1}{11}$，这就是 $\xi$ 的分布列。

从而 $E(\xi )=0\times \frac{4}{11}+1\times \frac{6}{11}+\sqrt{2}\times \frac{1}{11}=\frac{6+\sqrt{2}}{11}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合计数不重不漏的分类；正方体棱的三类位置关系；分布列与期望的计算

核心方法：相交按顶点计（每对相交棱恰有一个公共顶点，不重不漏）；平行按方向分组后在小正方形内数对

避坑指南：平行且距离为 $1$ 的棱对 $\xi =1$（距离 $1$ 即棱长），与异面棱对合并进 $P(\xi =1)$；把平行距离 $1$ 单列成第三个取值是本题最典型的错法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体棱的随机变量题，与 2014 年江苏卷第 22 题、2014 年四川卷理第 17 题同族。

结论推广：正方体 $12$ 条棱中：相交 $24$ 对、平行 $18$ 对（距离 $1$ 的 $12$ 对、$\sqrt{2}$ 的 $6$ 对）、异面 $24$ 对，这组数据可直接作为结论记住。

方法推广：几何对象上的随机变量：先定总取法 → 按位置关系不重不漏分类（每类找独立计数基准）→ 合并相同取值的概率再求期望。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-22 解-分布列与期望
• 2013-江西卷理-18 解-分布列
• 2014-四川卷理-17 解-随机变量的分布列