2010-江西卷文-09 单-独立重复试验对立事件

本题导读

考查独立重复试验。$n$ 人全不过的概率 $(1-p{)}^n$，至少一人通过对立事件 $1-(1-p{)}^n$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 有 $n$ 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 $p$（$0<p<1$），假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为()

A. $(1-p{)}^n$　　　　　B. $1-p^n$　　　　　C. $p^n$　　　　　D. $1-(1-p{)}^n$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对立事件：“至少一位通过”的反面是”所有人都没通过”。
2. 每人不过的概率 $1-p$，独立情形下 $n$ 人都不过的概率 $(1-p{)}^n$。
3. 所求概率 $1-(1-p{)}^n$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

“至少有一位同学通过测试”的对立事件是”$n$ 位同学都没有通过测试”. 每位同学不通过的概率为 $1-p$，由独立性，$n$ 人都没有通过的概率为 $(1-p{)}^n$. 故所求概率为 $1-(1-p{)}^n.$ 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验与对立事件

核心方法：“至少一人通过”的对立面是”全体未通过”，概率 $1-(1-p{)}^n$

避坑指南：$1-p^n$ 与 $1-(1-p{)}^n$ 一字之差：$p^n$ 是全通过，$(1-p{)}^n$ 是全不通过；对立事件指向”至少一个”结构。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“至少”型概率题的第一反应是找对立事件，避免分类求和。

结论推广：n 次独立重复试验中事件恰发生 $k$ 次的概率 ${\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$，$k⩾1$ 求和即 $1-(1-p{)}^n$。

方法推广：对立事件分解在几何概型、组合概率中同样适用，是概率题的通用减法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-江西卷文-18 解-独立重复概率
• 2011-重庆卷文-17 解-独立重复与非空分配
• 2012-重庆卷文-18 解-相互独立事件概率